用格林定理来求解静电边值的方法格林函数.doc

用格林定理来求解静电边值的方法——格林函数 1.什么是格林函数： 在处有一点电荷，则电荷密度可写为： ，（1） 该电荷密度激发的空间的势满足的方程为：，（2） 有一个负号。（3） 同理，处于处的单位电荷的电荷密度为 （4） 该单位电荷密度激发的空间的势满足的方程为：，（5） 定义一个函数——格林函数，用来表示，且满足。（8） 显然格林函数的物理意义为在处的一个单位电荷在空间处所激发的电势。 显然（8）式对于有对称性，故也可以看作是处单位电荷在空间处所激发的电势。 由于空间电势分布有两种边界条件，分别为： 第一类边界条件：。 确定了边界上的电势分布（将一大的电势为零的导体与之接触）（9） 第二类边界条件：。（10） 确定了边界上的场强分布，也即电荷分布（根据，积分形式，而，的最简单的取法（之后详述）为（在边界表面不一定是均匀的） （7） 由电势和电荷是共轭量，两个中只能确定一个。 2.格林定理：详细推到见第七讲课件3.2.2式的推导 （11） 左边是对所有边界面包括的空间积分，右边是对所有边界面积分（求和），其中对n的微分代表在该面上求被微分函数的梯度。 3.应用格林定理求解边值问题 令，带入上式，得 （12） 将与带入上式后 （13） 所以：由于（14）如果不经过推导过程，也可以得到下式。 （15） 其中i代表所研究的单连通区域中所有内边界面+研究区域的外边界面（一般来说是无穷大曲面），求和项中对任意无源边界面的积分为零，对求和无贡献。 **** （因为第一项中源电荷的电势对无源处的梯度是为零的，第二项中对无源处积分，可把源电荷处势提出来，而处单位电荷在无源界面上产生的电势梯度相当于该面上的电荷面密度，而该面本身无源，所以面密度对面的积分为零） 可见，空间中任意一点的电势是由两部分决定的，一是空间中体电荷的分布对势的贡献（单位电荷源点在场点产生的势的叠加）；二是边界面上的电荷源对观察点的势的贡献（故所有量都加上了’）。 对（15）式，以无穷远处为势能零点，第一项积分表示空间体电荷对观察点势的贡献，是以体电荷点电荷出电势为无穷大得出的结论，而每一个体电荷又离其他体电荷无穷近，故电荷簇的电势还是无穷大的，所以第一项代表考察场点对无穷远边界面的电势差，而第二项不同，两个抽象出来的面上的点电荷之间有宏观大小的距离，所以每个电荷之间还有相互作用，所以整个面宏观看来电势不会是无穷大的，而是具有一个有限势，随着表面电荷的分布而不均匀分布，所以第二项代表了考察场点与有限边界面的电势差（考察点与无穷远的电势差-边界面与无穷远的电势差）。所以（15）式求的是场点相对于所有边界面的电势差。 同唯一性定理：空间中电荷分布与边界条件唯一地确定了空间的电势分布。 具体对每一个边界讨论： 第一类边值问题：确定边界上的电势，由于我们比较容易掌握电荷量，并且由于电势的值依赖于零点的变化，所以一般讨论得多一点的是以确定电荷边界分布为边界条件。以下具体讨论电荷分布为边界条件。 第二类边值问题：确定边界上的电荷分布： 根据上述推导****处可得，无穷大面由于没有电荷分布，故其对求和的贡献为零。 所以综上，就消除了无穷大边界面对观察点势的影响，在第二类边界条件下，有 （17） 此时求和仅对于研究体系的内的含源电荷边界面积分求和。 4．具体问题 讨论空间中有两个导体，研究空间是两个导体边界以及边界以外，无穷远边界面以内的空间，空间介质的介电常数为，要证明格林互易定理，简化成的模型为： 第一个状态：在导体2上放电荷，导体1不放电荷，此时两个导体的电势分别为，记此状态为： 第二个状态：在导体1上放电荷，导体2不放电荷，此时两个导体的电势分别为，记此状态为： 格林互易定理得到： 现用格林函数解法来证明以上。 对于静电平衡的导体，是等势体，所以，式中的对内表面的面积分可化为：式中i=1,2，第i表面是含源的。而第二项被积函数也可理解成处的单位源电荷（在观察点上）对处的面上产生的场强的梯度（即诱导产生的面电荷密度），在这种条件下，面上本身不带电荷，故面电荷密度面积分一定为零，故得到（18）式。 对整个表面的电场强度（矢量）求积分和为零。 所以，研究空间中任一点的电势可表为： （19）i=1,2，i含源。 物理意义为：空间任意一点的电势是由空间体电荷和导体表面的源电荷（人放上去的而不是被诱导出来的）贡献的电势之和。 考虑以上两个状态，空间无自由体电荷， 第一个状态： 上式（19）又可化为： （20） 即空间电势仅由自由面电荷贡献。 有： 第二个状态： （21） 有： 处理得到： 显然上两式相等的充要条件是： 而这个条件又是可以一开始从格林函数的定义式（8）得到的，故互易定理得证。 本质就可以从中得到，即为场点（势点）和源点