由一道中考题谈线段取值范围的确定.doc

由一道中考题谈线段取值范围的确定 江苏省泰州市九龙实验学校 田锁勤 此文发表在2011年第12期《数理化学习》 每年的中考题颇受大家关注．笔者今年批阅最后一道中考题，即所谓压轴题．该题是关于直角坐标系中正方形的运动问题，其(1)(2)两小题入口较宽，学生得分率较高，第(3)小题是探讨点到直线的距离的取值范围，即线段取值范围的确定．由于平时教学中很少涉及这类问题，对学生来说是难点．本文通过对这道题的探究，谈谈怎样确定线段的取值范围． （2011年江苏泰州卷28题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标； （2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由． 解法1：由于点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴正半轴上运动，所以运动情况如下图所示：其中图1-1、图1-3、图1-5为特殊情况 分别过点P向x轴作垂线，垂足为M，则PM的长即为h，易得图1-1、图1-5时，h=；图1-3时，h=．由图1-1到图1-3可知，h逐步变大，再由图1-3到图1-5可知，h逐步变小． 所以图1-1和图1-5中h为最小；图1-3中h为最大．而点A、点B运动过程中不与原点O重合， 故h的取值范围是：． 评析：点A、点B是动点，自然想到要找特殊的临界点，画出各临界点之间的图形，观察h的变化情况，从而得出h的取值范围．事实上，我们这是用数学实验的方法，画个草图，通过观察就确定了线段的取值范围．该方法形象直观，是解决动态问题好方法． 解法2：如图2，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，交AB于点N；过点P作PG垂直于AB，垂足为G． PM的长即为h的值，易得，． 因为在Rt△PMA中，∠PMA=900，，所以， 即 ① 同样在Rt△PGN中，∠PGN=900，所以 ． 而，所以 即 ② 综合①、②得 又由于点A、点B运动过程中不与原点O重合， 所以，而PM可以等于PA． 所以． 评析：从反映运动过程中的一般情况的图形入手，将PM放入两个直角三角形中，其中一个是直角边，另一个比斜边还要大，利用直角三角形中直角边与斜边的大小关系确定PM的取值范围，再根据题意讨论两边是否含等于，从而得解．该方法简洁明了，大多数学生能够理解． 解法3：如图3，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，则PM的长就是h的值． 在Rt△PMA中，∠PMA=900，所以． 由题意可知，在整个运动过程中有， 所以，得， 所以，即． 评析：由题意作出垂线，便会出现直角三角形，从而可用锐角三角函数的相关内容将变化的PM用不变的PA表示出来，再由角的大小变化范围及锐角三角函数的单调性最终确定h的取值范围．该方法比较精妙，它将无明显特征的变量转化成常量和有明显特征的变量，思路清晰，目标明确．利用锐角三角函数的单调性求取值范围也不失为一个好方法．但锐角三角函数的相关内容在初中阶段要求不高，只有到高中才会系统地学习并加以应用．所以该解法必须具备较好的三角函数基础． 解法4:如图4，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，则PM的长即为h的值． 由第(2)小题得∠POM=450，故有．取AB的中点G，连接PG、OG． 易证△PBA和△BAO是直角三角形，∠BPA=∠BOA=900，，又因为G为AB中点，所以，在△POG中，，即，所以． 当点O、G、P在一线直线上时，有，所以 ． ① 在△POA中，∠POA=450，∠PAO=∠BAO+∠PAB =∠BAO+ 450，， ，所以，即，． ② 综合①、②得． 评析：该解法运用了三角形的三边关系及三角形中大边对大角的性质，这也是解决线段取值范围的一个常用手段．但该题要将变量PM转换成另一变量OP，再由OP的取值范围来确定PM的取值范围，学生不太容易想到． 解法5:如图5，过点P分别作PM垂直于x轴，PN垂直于y轴，垂足分别为M、N，易得正方形PNOM，故ON=OM=PM=h．设OA=m()，则． 由第(2)小题易证，得． 由于OB+BN=ON，得，解得， 所以 ， 又a为常数，故当最大时，最大，本题中，所以h也最大．当最小时，最小，本题中，所以h也最小． 令，则，令，得 (其中a为常数) ． 所以当时，，即，． 易得， 故； , 故． ，所以． 评析：该方法比较繁琐，多次用到二次函数的最值，且要用换元法才能发现二次函数． 通过以上分析，笔者认为在初中阶段求线段的取值范围可从以