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层层追问，激发学生潜能 ——由一道例题引发的思考 数学组 胡爱娟 复合函数的单调性是一个难点，很多同学知道复合法则：增增得增，减减得增，一增一减得减，但是不理解。在备课时，我觉得不能让他们知其然而不知其所以然，要让学生理解这个法则。 例题：求和的单调区间。 备课时分析：这是考虑复合函数的单调性问题，首先学生不知道复合函数的概念，其次这两个例子较难，不易入手，要从简单的例子入手。 课堂实录： ：复合得到的函数称之为复合函数，如是由和复合得到的，复合函数的单调性是关于的单调性。要求复合函数的单调性我们要先看关于的单调性，再看关于的单调性，最后得到关于的单调性，从里到外一步步来。 ：我们先求的单调区间。 ：在上单调递增。 ：为什么？请给大家解释下你如何得到这个结论的。 ：直觉告诉我的。（这位同学经常能给出答案，但不太能分析过程。） ：有哪位同学能解释一下？ ：令，在上是单调递增的，，也就是随着增大而增大了，在时是单调递增的，也就是随着增大而增大了，所以随着增大而增大，即在上单调递增。 ：很好，接下来请大家考虑的单调性？ ：在上是单调递增的。 ：为什么呢？ ：令，则，所以在上是单调递增的。 （此时其他同学发现不对了，复合函数单调性是关于的单调性，这位同学弄成了关于的单调性。） ：在上是单调递增的，通过观察得到随着的增大在增大，又因为是偶函数，所以在上单调递减的。 很好，这位同学运用了偶函数的知识，我们再来研究的单调性。 （ 难度提高了，一下子观察不出来，我让学生多思考一会。） ：在是递增的，令，在 上是单调递增的，在）上是单调递减的。所以在是递增的。 ：那么在上呢？ （此时这位同学摇摇头，示意我他不清楚） ：在是递增的，在）上是单调递减的， 　 令，所以在上是单调递增的，在）上是单调递减的。在上是递增的，时随着的增大而增大，随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，时随着的增大而减小，随着的减小而减小，所以随着的增大而减小。 ：很好，我们再来看这三个复合函数的单调性，在上是单调递增的，当在上是递减时，复合函数在上递减，当在上是递增，复合函数在上递增，你能总结出复合法则吗？ ：当中间函数和外函数都是增的，则复合之后是增的，当中间函数和外函数一增一减时，复合函数是减的。 ：就是增增得增，一增一减得减，减减呢？ ：随着的减小而增大，随着的增大而增大，所以随着的减小而增大，所以减减得增。 （这时我在黑板上写下单调性复合法则：增增得增，减减得增，一增一减得减。学生纷纷表示听懂了。） 反思 这个引导的过程虽然耗时较长，但学生们积极开动脑筋思考了，绝大部分同学参与了这个讨论的过程，当有同学答错时他们能自己发现问题，能从同学的回答中得到启发，完善自己的结论。这是我在第二个班采取的教学方式，在第一个班我直接讲了复合法则，学生直道下课都对复合法则持怀疑态度。作为数学老师，有时有些内容是他们这个阶段没办法证明，只能告诉他们结论，但我一直觉得告诉他们结论不能让他们感受到数学的魅力，数学不是高深莫测的。数学课堂上的讨论，层层发现本质，能够激发他们的潜能，激发他们学习数学的兴趣。 课堂上多给学生一点空间，让他们思考，让他们中的优秀者讲解，但是现在的课时不允许我们那样做，真希望学生能多一些思考的空间，感受数学的美。