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华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。 ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 2. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 3. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时，有最小值。 向下 X=h 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时，有最大值。 4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值。 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位， 变成（或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位， 变成（或） 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中。 五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值。 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为。当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值。 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然。 ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大。 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。 ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧。 ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧。 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置。 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置。 总之，只要都确定，那