Markov过程读书报告讲义.doc

湖南师范大学研究生课程论文 论文题目 马氏过程 读书报告 课程名称 马氏过程 姓 名 学 号 专 业 概率论与数理统计 年 级 级 学 院 数学与计算机科学学院 日 期 年 月 .................................................................................................. (以下内容由任课老师填写) 研究生课程论文简要评语 评阅教师签名： 年 月 日 得分： Markov过程读书报告 姓名： 学号： 这学期我们在邓老师的带领下学习了过程这门课程，通过这门课程的学习，我对过程有了初步的了解。下面就针对过程的一些知识点做一些总结，其中包括过程的定义，性质，定理，和一些例子。 一、过程的定义: 设有概率空间上的以为状态空间的随机过程，（其中是一个完全可分度量空间），及的一族子代数使对.设对是适应的，这时，我们称是一个以为参考代数族的马氏过程，如果对，都有下式成立: . 又称为马氏性，由上可知，马氏过程具有无记忆性。 下面给出马氏过程的几个等价性定义：(即下列条件等价) 是上的一个马氏过程； 对及，都有下式成立： ； 对一切及有界实函数，下式成立： ； 令，对任意有界实函数，下式成立： ； 对任意实函数与，下式成立： 转移概率函数族： 转移概率函数族的定义:， 转移概率函数族的性质： ，关于的可测函数； ,是上的概率测度； 即 性质被称作方程，它与马氏性是等价的。 齐次马氏过程: 齐次马氏过程的定义：若转移概率函数族只与有关，即，则称该马氏过程是齐次马氏过程。 所以有； 这种情况的方程可写为： 例1：强度参数为的过程是齐次马氏过程。， 当时，转移概率函数为；当时， 所以，强度参数为的过程的转移概率矩阵为 定义：若存在使得，， 则称为转移概率密度函数。 例2：设是一个运动，则也是一个齐次马氏过程。 对于, 因为，所以 所以运动由出发经过时间到达的概率为 下面看一下齐次马氏过程的有限维联合分布： 设初分布为， 对于，， 而 其中为示性函数； 所以，对于一般的， 马氏过程对应的半群 令， 在上定义模， 下面我们定义一族的算子： 记作； 则该算子族具有以下性质： 是线性算子； 是压缩算子：； 是正算子：； ； （恒同算子）； 对于，有 对于时齐的马氏过程对应的算子半群具有以下的性质： 是的闭子空间； ； 对于是的连续映射； 可以限制到的闭子空间中成为一个单参数、强连续、收缩的正算子半群。 无穷小生成元 考查（按意义下收敛），在该极限存在时，将它记作，称为无穷小生成元或简称生成元，算子可能无界。 令，称为算子的定义域，显然有. 命题：（1）在 中稠；而且对于，必有； （2）； （3）对于，对可微， 而且， 下面定义预解算子， 由于对连续，所以对于上式右端有定义， 并且. 所以有以下的性质： ，； 对,,， 若,则，从而 Hille-Yosida定理：设是一个函数的Banach空间，是上以为定义域的线性算子.可以是上的一个强连续、收缩正半群的无穷小生成元当且仅当下列条件成立： （1）在中稠； （2）对于，在上处处有定义； （3）对于，是正算子（即它将非负函数应为非负函数） （4）. 鞅问题与弱生成元 在第五部分中，无穷小生成元是按中的强收敛定义的，因而它的定义域比较小，而且较难确定。特别是，在很多情况下，问题往往是要求对已知的形式无穷小生成元去找出其相应的马氏过程。这时，能够给出一个要求较弱的类似无穷小生成元的刻画就很方便。下面我们先给出鞅问题的模型： 所以 由马氏性与时齐性就得到. 所以，对于，是鞅. 令（称为的弱连续中心） 令，这里有界收敛是指对于收敛，而且.显然，. 当时，记.也称为弱生成元。 显然有右导数： 下面给出这类鞅与半群之间的关系： 设有时齐马氏过程，对于，令，则是鞅；反之，当具有右连续轨道，如果存在上的有界连续函数，使得是鞅，那么，，而且. 最大值原理：设，而且，