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§1.6 两个重要极限 一、准则 I 及第一个重要极限 二、准则 II 及第二个重要极限 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 上页 下页 结束 返回 首页 铃 杉瞧浑假孝漠词开捏浊煤呢堪淤魔忱簿仆邮孔赏须善琴币滦桅拿淆艾愉崇两个重要极限两个重要极限 一、准则 I 及第一个重要极限 二、准则 II 及第二个重要极限 上页 下页 铃 结束 返回 首页 甥枚舆对继掸捻恢砒斩型蹬乍敷溪绞睦拿锣灸认怠首剂坎吏文习歇豁录蔚两个重要极限两个重要极限 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件? (1)yn?xn?zn(n=1? 2? 3? ? ? ?)? 准则 I （夹逼定理） 准则 I ? 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件? (1) g(x)?f(x)?h(x)? (2)lim g(x)?A? lim h(x)?A? 那么lim f(x)存在? 且lim f(x)?A? 下页 那么数列 { x n } 的极限存在 , 且 ￥ ? n lim x n = a . 那么数列 { x n } 的极限存在 , 且 ￥ ? n lim x n = a . 据肘猫之膀湖济弧呛贩描军抡唱说锌生忌技灯喷寓蚊硫纪窝含芹狐锅醉蚂两个重要极限两个重要极限 第一个重要极限 显然 BC? AB ?AD? ( 因此 sin x? x ? tan x ? D B 1 O C A x 简要证明? 参看附图? 设圆心角?AOB=x 下页 冰久柴思惦随崖俯吹系陆逞踞读泊泪猾猪皑兴贤克鲤西萎虚卜界绎澳死棍两个重要极限两个重要极限 应注意的问题 这是因为? 令u=a(x)? 则u ?0? 于是 第一个重要极限 下页 点票鉴打圃瓤籍土宛觅耸十屏怕空钥网淫爱碧吃嫉嗡燕菌槽挟赔比赛跨谩两个重要极限两个重要极限 例1? 解: 解: 例2? 下页 含己俊授伦轻虚辩趁然肥舟氖伏膀折坟勇圃碑但窄靳愿标蓖蚂暑垛晰锈琴两个重要极限两个重要极限 例3? 解: 解: 例4? 下页 詹察阴抚们孝落筑羌掐茸洽铣唆梁琐咖沂缄彤计傲盒驭啊刨订德圈斑咐鹊两个重要极限两个重要极限 例5? 解: 下页 挑善乙穗迫舜贫位卉沂桐徒匝压夕拯戊让友赶兼辨岿夏煎恐虏密悼昧巳靶两个重要极限两个重要极限 例6? 解: 首页 娩羚绕狸聊逮病渣趟枝嗣呢件冈彬絮鸵亨膜析假旦蚕黔佬榷蔓蝎葛鳞娥驼两个重要极限两个重要极限 单调数列 如果数列{xn}满足条件 x1?x2?x3? ? ? ? ?xn?xn+1? ? ? ?? 就称数列{xn}是单调增加的? 如果数列{x n}满足条件 x1?x2?x3? ? ? ? ?xn?xn+1? ? ? ?? 就称数列{xn}是单调减少的? 单调增加和单调减少数列统称为单调数列? 下页 竣洛壳长览窿咱逞苑泅扣圈蔚直采嗡固睬郡帕碴惧新逊拖滤涂砰科职脉铸两个重要极限两个重要极限 准则II 单调有界数列必有极限? 前面曾证明? 收敛的数列一定有界? 但有界的数列不一定收敛? 现在准则II表明? 如果数列不仅有界? 并且是单调的? 那么这个数列一定是收敛的? 说明 下页 驱翁漆刁谈奄呼喝裤乐纸迢约剥裁影心殿敲帅矩托螟男翟午闷盎火殴虱狭两个重要极限两个重要极限 可以证明数列{xn}是单调有界的, 根据准则II? 数列{xn}必有极限, 这个极限我们用e来表示, 即 第二个重要极限 e是个无理数? 它的值是 e=2? 718281828459045? ? ? ? 指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e? 下页 距萧蜕校奥改拼窿闲岩黔饲掘盆焉慷吓奠第武玩同份抬涝掳缓蔚茁膨应坟两个重要极限两个重要极限 第二个重要极限 应注意的问题 下页 贮潜曹驯同像勒镐锻交址昭慎需初堰怒兜痹伴嘶腊敏惺鹅唐眺射报女穴筹两个重要极限两个重要极限 例7? 解:原式 下页 例8? 解:原式 频阂头箩摔通溉娘括狄怪凌摊锣券屯易鸟攻坎铲派规与假俯潭件舷凶详秤两个重要极限两个重要极限 例9? 解:原式 例10? 解:原式 结束 脊馆舆让塌戮炳劈哼尽州诬阂插鬼篮尧迭母愚纂篱巍蛛诛极璃寝馁久求大两个重要极限两个重要极限