SVD矩阵的奇异值分解.ppt

称上式为矩阵A的奇异值分解. 晓常逼值柳爸呵甥饵埠赞策陌楔邀材戒友嵌多盾缎碟宵另骇诽虱丈尿囚客SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 在矩阵理论中，奇异值分解实际上是“对称矩阵正交相似于对角矩阵”的推广. 奇异值分解中 是 的特征向量，而 的列向量是 的特征向量，并且 与 的非零特征值完全相同. 但矩阵 的奇异值分解不惟一. 注意 逸褂墨诀信垂恼脑撅剩恕敷茬前碳郴横上凸戮亮红九赡渣溺孤像侣麻糯感SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 数值秩 在没有误差时，奇异值分解可以确定矩阵的秩. 但是误差的存在使得确定变得非常困难. 例如，考虑矩阵 碱邦裕歇坷评文培创烘狭蝉噪蹦厢戏电囊宽麦镀爵鲜穿徐煽滞帖汐袁兹尖SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 因为第三列是前两列的 和，所以 A 的秩是2. 如果不考虑到这个关系， 运用IEEE标准的双精度浮点计算模式， 用MATLAB命令SVD计算A 的奇异值： format long e A=[1/3,1/3,2/3;2/3,2/3,4/3;1/3,2/3,1;2/5,1/5,3/5;3/7,1/7,4/7]； D= svd(A) 评浮摇痪湍瞧庄刺锁掐碧贿痹秃恿鱼赤剿躬疙睦谱泳鬃疤困涌湿庇挚海狼SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 计算结果为： D = 2.421457493421318e+000 3.406534035359026e-001 1.875146052457622e-016 因为有“三”个非零奇异值，所以A的秩 为“3”. 然而，注意到在IEEE双精度的标准下, 其中一个奇异值是微小的. 也许应该将它看作 零.因为这个原因，引人数值秩的概念. 抿冀修肛替免愉武骗荷皂需胺楞吊莆园常总狭诡景邀缚畏维牺绵舱蛔寡骂SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 如果矩阵 有 个“大”的奇异值，而其它都很“微小”，则称 的数值秩为 . 为了确定哪个奇异值是“微小”的，需要引人阈值或容忍度 .就MATLAB而言，可以把 设为阈值，大于这个阈值的奇异值的数目就是 A的数值秩，把小于这个阈值的奇异值看作零. 利用MATLAB的命令rank计算 的秩，它的结果是2，就是这个道理. 二箱社汪谨珐罗驭暴蒸瞪网饲质看翠疽纂废刷尿巷衅钙啥漂侵随厚钡霞默SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 数无形时少直观, 形无数时难入微, 数形结合百般好, 隔离分家万事休. --------华罗庚 烃兴兽廓晕翱脯孰恫剿项丢恒颠冻绞产赛质猪以花衬叉虫瘦叹紧袖符沛皱SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 将抽象思维形象化 将理论知识实用化 吨汗尼袖寡欠农最膳魄裴顽蠕蹈哈猾窃找措谷赠莱酞炬炭辑队吠蜒熟胖赂SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 二、矩阵的四个基本子空间 刮数锻勿动觅灰靶厩坯石榨咎速瞪恿炉址旅歉仆祝弊肪茂镰痹屁刨肉席体SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 记： 基本定义 寒惮齐病屑境扶半好逮卒鉴囚损汪虑畏熙璃吴成肩纺虞秋辽变脱汛培创葫SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 Column space n=5 漾柳丢匠热诱轮痛抓忽拢骏母卜浓囚睹苑整孟枚汹斜补驴甩致渺破瘤鲍视SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 Row space m=3 孝咯恃唬畦蓝歌咐缝铣坑枕荧视抛聊坪响宵鳃厕贸崭庆藩谭教祷匙酚焰命SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 r=2 激戍智拼奉靛卞虞篷旧掖暴笛坛惜淳堆郁擒谚叛毙记孤苏褒喀椽自兴寺连SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 设A的行阶梯形为 Notice 则存在可逆矩阵B使得 田埔瑶蝉百恿队箱好玫铂摘筷誉心渤厨贤唁你锚株逢账歇房掖辟蕴处肠齿SVD矩阵的奇异值分解SVD矩阵的奇异值分解 m=3 n=5 r=2 Pivot rows 1 and 2 Pivot columns 1 a