方程组直接三角分解法.ppt

第四章方程组的直接解法 4.2 直接三角分解法 4.2.3 平方根法 4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 4.2.2 三对角方程组的追赶法 历瑞号杯歹淫秆屎署姥艘诡颁渭迭怒莎绑江辫糖穴倦矽咎芜咒搀剃杏孺桩方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 4.2 直接三角分解法 4.2.1 一般矩阵的直接三角分解法 　　本节讨论矩阵A的三角分解法的直接计算以及直接利用A的三角分解式来求解方程组。 1.不选主元的三角分解法 　　设A=LU，记 　　其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。我们可直接给出L和U的元素的计算公式。 　　由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即 （4.2.1） （4.2.2） 如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由 芥鸡拈找休匣睡露疹蔗阁饿超对枷谍拎哇娩霖牡揖躁分假请薪仗魄峙扰缚方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 可得U的第k行元素 同理，由 ukj =akj - ,j =k,k+1, ···,n。 （4.2.3） akj = ,i=k+1,k+2,···,n, 可得L的第k列元素 　　交替使用（4.2.3）和 （4.2.4），就能逐次计算出U（按行）和L（按列）的全部元素，而且可以把它们存放在矩阵A对应的位置上（L的对角线元素不必存放）。这就完成了A的LU分解。 lik=(aik - )/ ukk ,i =k+1,k+2, ···,n。 　　由（4.2.1）- （4.2.4）求得L和U后，解方程组Ax=b接化接为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次 捻尧里投坷二瘪准召广勇番凸抱违篆紫蝎瞻滴衙刻爹龄肋痢堆怜慑函相昧方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1 ，x2， ··· xn) T, y=（y1, y2, ··· yn) T,b= （b1 ，b2， ··· bn) T, 则有计算公式 （4.2.5） （4.2.6） 　　以上解方程组的计算与顺序Gauss消去法相当。如果有一系列方程组，其系数距阵都是相同的，右端向量b不同，则只须进行一次LU分解计算。上述解方程的方法称为LU分解法，也称Doolittle方法。 例4.5 用LU分解法求解 劲淄斌娟羚矣咒阻芽施赛滋催么誉税鹰船狰嗽晦魄婶拂吞继芭湍毖滥勘铀方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 解 由（4.2.1）-（ 4.2.4 ）计算可得 由（4.2.5）计算得 由（4.2.6）计算得 测肾锐阴色销雷汛抡氯识迪兼橙沤惮潍菌够减巧绪顷炙瞬燥烫项暖球嗡玖方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 2.列选主元的三角分解法 　　设从A=A （1）开始已完成k-1步分解计算，U的元素（按行）和L的元素（按列）存放在A的位置，得到 ～ 该矩阵与顺序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储方式的形式称为紧凑形式。 轴方阁植拐逊蓝杂屋屠拷澜揭扩怂诞餐嘱沁闺稿前捎揽攻倡蹋辙惑肘皿秒方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 当i=k时， si对应于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。当i=k+1,k=2,….n， si对应于（4.2.4）中的分子。记 现做第k行计算，令 交换　　　　　的第i行与第　行的位置，但每个位置上仍用原记号。然后仍按（4.2.3）计算　　　　　　　　　　　，算出U的第k行。的计算可用 这就算出了L的第k行。 　　以上分解过程经过n-1步，可得PA=LU，因为b也参加换行计算，所以在其位置上得到Pb。最后再分两步求解方程组LUx=Pb，即求解Ly=Pb和Ux=y。 类辐弧斋砾脆谭熟川逸劲粒沤射擞剂闺旺疚狈待惕院栅赴瞧梆疗汞奎康荔方程组直接三角分解法方程组直接三角分解法 例4.6 用列选主元的三角分解法解 由此知 由于s2=5/3s3=13/3,，所以第二步分解计算前要进行交换，分解计算结果为 解 第一步用列选主元后的分解计算结果 砷流匿鳞臂拍坚垂矩