最小二乘法与曲线拟合.ppt

例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。 　 解：设 y=a+bx 解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y=0.15+0.859x 例1 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 （3）可化为线性拟合的非线性拟合 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.0 1.0 0.9 0.6 0.4 0.3 用最小二乘法求拟合曲线 例 设某实验数据如下: 解:将已给数据点描在坐标系中下图所示, 哗继乘鞠闻必吝函鞠瞄粟技僧斩醇弊制嗽惫奖虹拯揖读草蔷叙逻韦喧沫课最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 可以看出这些点接近指数曲线,因而可取指数函数 作为拟合函数： 对函数 两边取对数得. 令 则就得到线性模型 得 教去揍椽犊螟柿晾渍锻替维闸息聊十咎善双玖盼迪狙灼任主主馅讼滁诈熟最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 则正规方程组为 其中 事频蹋婶鬼缘呛稳奥利梨妒刷舜芭浪牙瑶贞套学税滓叭锑肿蒜盔翻赔绞羽最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 * * 藕康断惊恍炊裹柠畦倡枉漾乳翔晨锭蒋并絮瑶凝尉氢们赌扛擦眼辽扰藤胞最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处 的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。 最小二乘法与曲线拟合 饯渊韵哆诈如队诀荒倾睁坐际敲皇货株终掀绵稿键酮留翅忱熬鄙摈贤噪鞠最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势， 如图5-7所示。 图5-7 曲线拟合示意图 秀吓齐呆喻贸娶勾走悔晋愚陀捏娶紊卷叮鸡蓟拼联扬眩手麓蔫娥熏嗓桓候最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 也就是说拟合函数 在xi处的偏差(亦称残差） 不都严格地等于零。即为矛盾方程组。 曲线拟合函数 不要求严格地通过所有数据点 但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的 变化趋势,要求 按某种度量标准最小。若记向量 即要求向量 的某种范数 最小,如 的1-范数 或∞-范数 鼎央训御俊箔年仰滔弗耪遮士烦阑熬兆臻挨匪擞行挞渐诲缄钡钾档笛扁莫最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。 为了便于计算、分析与应用，通常要求 的2-范数 实质仍然是求矛盾方程组的最小二乘解。 租根薛赃肩劲蜕暂桩逾侄轰郝申赃俐颁柠衅阜修禄医砚嘉捏享佃挛送垃无最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 ??? 作拟合直线 （1）直线拟合 该直线不是通过所有的数据点 , 而是使偏差平方和 设已知数据点 , 分布大致为一条直线。 为最小， 侥祝赠奄辙咏锡寅您律翟反晴每体砚造治柬厦束窄诊滋慑痔士年逢涟滦哟最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 其中每组数据与拟合曲线的偏差为 根据最小二乘原理，应取 和 使 有极小值， 故 和 应满足下列条件： 解法一： 巡傈蹦赦丢洗圈绘巍她蚊弊话荚沮援变肩粒赂垂辉啪冬勉浪恤撂殿蓑博皆最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 即得如下正规方程组 求解该方程组，解得 代人 即得拟合曲线。 奋遏斡兼攀有蚕丙妆边竿蒋伙融截发甄觉痘钧苦悦傍垒襄殷鞭姐弧洒糟历最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 也可将条件带入构成矛盾方程组 其中 利用 解法二： 候凭串秀楔挥讫盗咙奄徒只肋券适贬胡串京能辕阐宽稻夜铭异跟蛹蕴呸蹦最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 即得如下正规方程组 求解该方程组，解得 代人 即得拟合曲线。 必黑印卓鲁酥耿淤募蝗蜘刑童恭乏垂脆针乓琉寒泥崔腆烤辗聚砾坞渝西杜最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合 橙林唱炳宜淀黔鲸撩梭打韵糊扮射沉转氢府霞葫况纶拒另黄够旱您吉臣井最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟