矩阵求逆c代码.doc

课 程 设 计 报 告 学 院： 自动化学院 班 级：学 号： 2010302184 学生姓名： 胡晓杰 指导教师： 杨峰 时 间： 2013年6月 课程设计任务书 设计内容 掌握矩阵求逆的概念的原理，以及矩阵求逆的计算。编写程序完成矩阵求逆计算。要处理的数据由自己选择。 二、主要技术指标 掌握矩阵求逆的概念的原理，以及矩阵求逆的计算。 用C或者C++实现矩阵求逆 处理结果与Matlab求逆结果对比 阅读矩阵求逆方面文献10篇以上 三、进度要求 两周完成设计任务，写5000字以上的小论文。附参考文献并在论文中进行标注。 学 生 胡晓杰 指导教师 杨峰 设计内容 掌握矩阵求逆的概念的原理，以及矩阵求逆的计算。编写程序完成矩阵求逆计算。要处理的数据由自己选择。 设计过程 1、 矩阵的定义 由个数排列成个行个列的数表 称为矩阵，其中数称为矩阵的元. 当时，称为阶矩阵或方阵. 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或简记为. 两个矩阵，，如果，，则称矩阵与为同型矩阵. 如果两个同型矩阵与的对应元素相等，即，，，则称矩阵与相等，记作或.[1] 当时，矩阵称为行矩阵或行向量. 当时，，矩阵称为列矩阵或列向量. 形如 的阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作 . 特别当时，这时的对角矩阵叫做阶数量矩阵. 当时，这时的数量矩阵叫做阶单位矩阵，记作或，在阶数不致混淆时，简记为或，即. 主对角线下方的元素都是零的方阵 叫做上三角矩阵. 主对角线上方的元素都是零的方阵 叫做下三角矩阵.[2] 2、逆矩阵的概念 定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1. [3] 2、矩阵的初等变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. （4）矩阵A经过初等行变换后变为B，用A B表示，并称矩阵B与A是等价的 3 、有关矩阵求逆的定义定理 定义1 n级方阵A称为可逆的，如果n级方阵B，使得 AB=BA=E （1） 这里E是n级单位矩阵。 定义2 如果B适合（1），那么B就称为A的逆矩阵，记作。 定理1 如果A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是，并且当A可逆时,有 。 定理证明见. 定理2不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。 由定理2逆矩阵判定的方法还有： 推论2.1 n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。 推论2.2 矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。 推论2.3 n级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行或列向量组线性无关。[4] 4、矩阵的秩 前面给出了利用矩阵行列式判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A的可逆性. 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义：在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的个元素，按原来次序组成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式. 定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，即秩(A ) . 规定：零矩阵O的秩为零,R(A)=0 定理：设A为矩阵，则R(A)= k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵. 定理：矩阵经过初等行变换后，其秩不变. 定理：给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩. 4、矩阵可逆的条件 （1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r（A）= n）； （2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）