矩阵A的m重伴随矩阵的性质.doc

矩阵A的m重伴随矩阵的性质 数学系 01数本 2001141105 程清妹 指导老师：杨忠鹏 摘要　本文定义了矩阵的重伴随矩阵，并利用已有的理论成果，对的性质进行推广，主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系，及为特殊阵与为特殊阵之间的联系，发现的重伴随矩阵的性质与的性质很相似. 关键词　矩阵；伴随矩阵；秩；特征值；数学归纳法 0引言 设是阶方阵，的伴随矩阵定义如下 定义1　设是阶方阵的元素的代数余子式，则阶方阵 ，其中，称为的伴随矩阵 　　 　　本文推广了这一定义，给出了的重伴随矩阵的概念 定义2　设为阶方阵，称阶方阵为的重伴随矩阵，记为 ＝, 特别地，， 引理　设为阶方阵，则秩 　证明：（1）当秩，即可逆时，由于，故也是可逆的，即秩； 　　　　（2）当秩时，有，于是，从而秩； 　　　　　　又因为秩，所以至少有一个代数余子式，从而又有 秩，　于是秩 　　　　（3）当 引理　设为阶方阵，则有 证明：（1）当时，由引理1知秩，如果，由引理1知 秩，因此 如果，令也有 （2）当时，则也，则，于是 　　　 主要结果 命题1.1　当＝时，秩＝ 　　　　　　　当2时，秩＝ 证明：　当时 由引理1知，　秩＝ 　　　　　 所以　　　　　秩 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　秩 　　 　　　当时 　　　　　 设＝，则， 　　　　　　　 所以　 因此　　秩＝秩＝ 命题得证 命题1.2　设为阶方阵（）， ＝ 证明：（1）因为　当，时 　　　　　　　 从而得到关于的指数的一个数列，且 　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　 　　　　　　　 由数列的性质得到通项公式，则 同理可证，当， 　　　　　 　 　　　　 　　　　 　　 从而得到关于的指数的一个数列，且 　　　　 　 　　　　　 　　　　　 　 　　　　　 由数列性质得到通项公式，则 （2）用数学归纳法证明结论 　　　　 　当，时， 　　　　　取＝１，有，则＝，等式成立 　　　　　设时，等式成立，即＝ 　　　　　当时， = 等式成立 　　综上所述，当，，有 同理可证，当，，有 命题得证 命题1.3　 证明：若，由引理1知，当时，，则有 　　　　　若， 即　时，有 命题1.4　可逆时，有 = 证明：（数学归纳法） 　　　当时，，等式成立 　　　设时， 　　　当时， 综上所述，当时，有 又由1.2知， 命题得证 命题1.5　 证明：由数学归纳法和1.2即可证得 命题1.6　若是幂等阵，则也是幂等阵。 证明：因为　，所以或 　　　 若，由引理1知，，则 　　　 若，可逆，则，即，所以 　 命题得证 命题1.7　若是对合阵，则也是对合阵。反之也成立 证明：由，得＝１或＝－１，且＝ 由1.2知，当时，由知， 　　 　　　 当时，由知 　　　　　 所以，当时，有 　 　　　　反之，若，则＝或=，且 　　　　 由1.2知，＝１或＝－１， 　　　　 　　　　由1.4，当时， 所以　，由知，即 同理可证，当时， 因此，当，时，有 命题得证 命题1.8　若是正定阵，则也是正定阵，反之为正定阵，且为偶数，　可逆时，为正定阵 证明：若正定，则，，有 　　　因为　， 　又由　，正定，，得正定 　　　同理可证，正定，以此类推，正定 反之，若正定，有正定 因为　，当为偶数时，有为奇数，则 由1.2知，当时，，正定，所以为正定阵 同理可证，当时，也是正定阵 命题得证 命题1.9　若是正交阵，则是正交阵。反之也成立　 证明：由已知得，且或 　 　 　当时，由1.5知 由1.4知， 由上述可得时，，有，即为正交阵 若， 当， ， 由，，知 同理可证，当时，有 所以，，，有，即为正交阵 综上所述，若是正交阵，则是正交阵 　　　 反之，若，且或， 则由1.2知或 由1.5知，当时， 得　，由知，即 同理可证，当时， 综上所述，当时，有 命题得证 命题1.10　 设是阶方阵（），若是幂零阵，则是幂零阵 证明： 由，得或秩 　　　（1）若，则 （2）若秩，由1.1知， 当时，秩，则