矩阵分析理论.doc

一、填空题：（每空3分，共20分） 1. ； 2. 3. 二、解答下列各题：（每题10分，共50分） 1.解：由可得--5’ 则在基 下的矩阵为 ------------------8’ =----------------------------------10’ 2. 解：幂级数的收敛半径为， 　　　因为且谱半径，所以绝对收敛。―――――――――５＇ 　　　因为＝，　――――８＇ 　　　所以＝－－－－－－－－－－－－－－－－－１０＇ 3. 解：---------------------------------------------------4’ ----------------------------------8’ 由哈密顿开莱定理可得 =A-------------------10’ 4. 解：， 盖尔圆盘为-------------8’ 所以A的特征值分布范围为-----------------------------------------------------10’ 5. 解: 故A有三个不同的特征值,从而A可与对角形矩阵相似，与特征值相应的三个线性无关的特征向量为： 故得 所以所求的解为： 三、证明： ，，利用数学归纳法证明当时，-----------------------------------------------------8’ 则----------------------------------------------------------12’ 四、解：方程组的系数矩阵。 -------------------------------（2分） 由 -------------------（7分） 因此 其中是任意常数。 -------------------------------（10分） 则就是的一个减号逆。 -------------------------------（12分） 因此，该方程组的通解为： 其中。 ----------------------------------------------------------------------------------（14分） 五、证明：（16分） 1.证明：由方阵范数的定义，对于已知的方阵范数，有 ， ----------（2分） 故--------------------------------（4分）--------------------------------（5分），都有 ------------------- ------------------(6分) 故 ------------------------------------(8分) 证明：假设可逆，则，-----------------------------------------------------6 因为相似矩阵具有相同的特征多项式，所以与有相同的特征多项式----------8’ 2. 证明：先证： 由于 因此---------------------------------------------------3’ 再证（必须证明，不能写同理可证） -------------------------6’ 故T一定是线性变换，因而是正交变换。-------------------------------------------------------8’ 第3 页 共5页