矩阵的特征值与特征向量的简易求法.doc

矩阵的特征值与特征向量的简易求法 黄 金 伟 (福建信息职业技术学院 福建福州 350003) [摘要] 文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法：列行互逆变换方法与列初等变换方法。 [关键词] 特征值; 特征向量; 互逆变换; 列初等变换。 1引言 一般教科书介绍的求矩阵的特征值的方法是求特征方程=0的全部根（互异）,而求相应的特征向量的方法则是对每个求齐次线性方程组的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组，计算量都较大。 本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法，只用一种运算——矩阵运算，其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法，而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法，在求出特征值的同时，已经进行了大部分求相应特征向量的运算，有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少，且运算规范，不易出错。 2列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i、j两列，同时互换j、i两行； 第i列乘以非零数k, 同时第i行乘； 第i列k倍加到第j列, 同时第j行-k倍加到第i行。 定理1 复数域C上任一n阶矩阵A都与一个Jordan标准形矩阵 相似，其中 称为Jordan块，并且这个Jordan标准形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外被矩阵A唯一确定，J称为A的Jordan标准形。 定理2 A为任意n阶方阵，若，其中 是Jordan标准形矩阵，P=， ，。则为A的特征值,为A的对应特征值的特征向量。 证：由定理1可知，任一矩阵必相似于一约当阵，按定理2中化简方法，有矩阵A的转置矩阵相似于一约当矩阵J，即存在可逆矩阵P，使，故AP=P 其中P=， 所以A= 故有 所以为A的特征值,为A的对应特征值的特征向量。 例1 求A=的特征值与特征向量。 解： 所以特征值，，对应特征值的特征向量 ，对应的特征向量。 注：解答过程中（1）处的是由方程确定的，（2）处的是由方程确定的，（3）处的是由方程确定的。 3.列初等变换法 定理3 设A是n阶方阵，I为n阶单位阵，为待求特征值。若对矩阵I－A施行一系列列初等变换，可得到下三角矩阵Ｍ（），则令Ｍ（）的主对角线上元素乘积为零， 求得值即为矩阵Ａ的特征值。 证明：设 ＝ 考察的第一行元素：若不全为零，任取其一，记为，通过列初等变换化为；若＝０，则就具有这种形式，再对进行相应的列初等变换，化为，再对进行类似的计算，直至化为三角矩阵=，由以上运算可知，与等价，则与有相同的初等因子，定理得证。 由定理３求出，将每个特征值代入得，再由定理4求出相应的特征向量。 定理4 对矩阵施行一系列列初等变换，化为列阶梯形，同时对单位阵也施行相应的列初等变换，即存在n阶可逆阵，使 其中R=r，为满秩矩阵，=，则分块矩阵的n-r个n维列向量即为矩阵A的特征值对应的特征向量。 证明：对矩阵，经过有限次初等变换化为标准形，即存在n阶可逆阵及，使 =，于是 =，根据分块矩阵的运算 = = =O A= 故的n-r个n维列向量即为矩阵A的特征值对应的特征向量，又因为可逆，知这些特征向量线性无关。证毕。 由定理3、定理4可知计算特征值与特征向量的步骤： （1）计算，其中为含的下三角矩阵，为I经过初等列变换得到的矩阵； （2）令主对角线元素之积为零，求出根即为特征值； （3）将求出的代入中为，再进行列初等变换，当化为列阶梯形，当非零列向量个数为r时，中后的个列向量即为对应的特征向量。 例2 重做例1 解：= = 令主对角线元素之积为零,即，特征值，。 当时，= ，于是对应的特征向量为； 当时，=， ，于是对应的特征向量为。 4．结束语 通过以上例题求解方法可以看出，用列行互逆变换法和列初等变换法求矩阵的的特征值与特征向量简捷实用,能收到事半功倍的效果。 参考文献 [1]赵树原. 线性代数[M]. 北京:中国人民大学出版社. 1997 [2]北京大学数力系几何与代数教研室. 高等代数[M]. 北京:人民教育出版社. 1988 [3]同济大学数学教研室. 线性代数[M]. 北京:高等教育出版社. 1999