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2012年中考数学一轮复习讲义 11 全等三角形 小结1 概述 主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础． 小结2 学习重难点 【重点】 1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法． 2．角平分线的性质及判定． 3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式． 【难点】 1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识． 2．角平分线的性质和判定的正确运用． 3．用综合法证明的格式． 小结3 学法指导 1．注意在探究中掌握结论． 2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论． 3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据． 4．注重联系实际． 5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧． 知识网络结构图 专题总结及应用 一、知识性专题 专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用 【专题解读】 三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题． 例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB． （1）求证AP＝AQ； （2）求证AP⊥AQ． 分析 （1）欲证AP＝AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP≌△QCA即可．（2）在（1）的基础上证明∠PAQ＝90°． 证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°． 在Rt△AEC和Rt△ADB中， ∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB， ∴∠ABP＝∠ACE． 在△ABP和△QCA中， BP＝CA（已知）， ∠ABP＝∠ACE（已证）， AB＝QC（已知）， ∴△ABP≌△QCA（SAS）． ∴AP＝AQ（全等三角形的对应边相等）． （2）∵△ABP≌△QCA， ∴∠P＝∠CAQ（全等三角形的对应角相等）． 又∵∠P＋∠PAD＝90°， ∴∠CAQ＋∠PAD＝90°， 即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ． 例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由． 分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论． 已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′． 判断∠B和∠B′的关系． 解：∠B＝∠B′．理由如下： ∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°． 在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中， ∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）． ∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）． 规律·方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题． 例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论? 分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题． 解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF． ②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF． ③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA， ∠CEB＝∠FEB． ④∠AEB＝90°或EA⊥EB． ⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB. 【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形． 专题2全等三角形的性质及判定的