草场鹿群数学建模论文.docx

《数学模型》课程设计题目草场鹿群的种群模型学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ年月日草场鹿群的种群模型【摘要】此课题研究了自然界里一种普遍的生态学现象，即鹿群与草场之间的种群数量关系。鹿群依靠草场生存，草场对鹿群的死亡率有补偿作用，鹿群的数量对草的增长密度又有制约作用。根据两者之间特殊的捕食关系，建立了的食饵—捕食者模型。这种模型具有一般普遍性，两个种群数量之间呈现此消彼长的状态，最终达到一个种群数量的平衡【关键词】平衡点、依存、制约、增长率、死亡率【问题提出】研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用，草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5，草场中最多容许4000只鹿生存，作出一些简化假设，用微分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程。【模型假设】1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic规律；2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3．鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。【模型建立和分析】食饵—捕食者模型根据问题的分析，鹿群以草为食，草场依靠自然资源生长，鹿群的数量，制约草场的密度，而草场的密度对鹿群的自然增长率有起到一定的反作用。食饵（草）和捕食者（鹿群）在时刻t的数量函数分别记作，，鹿群的存在使得草场的增长率减小，设减小的程度与捕食者的数量成正比。1、草的密度为满足方程（1）草地有最大容纳量，种群的实际增长率会受到资源的限制鹿群的食草能力系数为综合分析可得（2）鹿群离开草场无法生存，由题意可知鹿群自然状态下死亡率为，即而2、草场的存在为鹿群提供了食物，补偿率为，于是满足（3）草地对鹿群的补偿率与草场的密度成正比，所以补偿能力系数为草对鹿群的补偿能力为（4）综上分析可得（5）3、由方程可知，方程（2）、（5）没有解析解，首先，我们可以求出对应的微分方程的数值解。4、记草场的初始密度和鹿群的初始数量分别为=，=0假设初始鹿的数量为，草场的初始密度为0=2000在MATLAB软件里面编制程序运行初始值，，，，，0=100源程序以及运算结果如下：function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*0.8*(1-x(1)/3000)-1.6/3000*x(2)*x(1);dx(2)= -0.9*x(2) +1.5/3000*x(1)*x(2);%建立主程序shark.m [t,x]=ode45(shier,[0 60],[1500100]); [t,x] figure(1)plot(t,x(:,1),b,t,x(:,2),r),gridaxis([0 70 0 3000])title(图1：鹿群与草场相互竞争的数量时间变化)gtext(x0=1500)gtext(y0=100)gtext(鹿群的种群数量)gtext(草场的种群数量)plot(x(:,1),x(:,2)),gridaxis([0 3000 0 1500]);title(图3：两种群相互竞争的相轨线)xlabel(甲)ylabel(乙)ans = 1.0e+003 *0.0187 1.8209 0.5929 0.0194 1.8177 0.59690.0201 1.8134 0.6001 0.0209 1.8080 0.6027 0.0217 1.8031 0.6041 0.0225 1.7996 0.6043 0.0233 1.7973 0.6039 0.0243 1.7958 0.6027 0.0253 1.7959 0.6013 0.0262 1.7969 0.6003 0.0272 1.7982 0.5997 0.0282 1.7993 0.5993 0.0292 1.8002 0.5993 0.0301 1.8006 0.5994 0.0311 1.8007 0.5996 0.0326 1.8005 0.6000 0.0340 1.8001 0.6003 0.0355 1.7998 0.6001 0.0369 1.7999 0.5999