数学必修⑤《数列》 单元总结复习.pptVIP

* * 数学必修⑤《数列》 单元总结复习 一、知识回顾 仍成等差 仍成等比 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 通 项 通项推广 中 项 性 质 求和公式 关系式 适用所有数列 Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为 或者 ， 2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为 例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数. 析：设这三个数为 则 ∴所求三个数分别为3，5，7 解得x＝5，d＝ 或7，5，3. ±2. 二、知识应用 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。 例1(2)：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列. 设这三个数为， 则 即： （1）若 的等差中项，则 即： 与已知三数不等矛盾 （2）若 的等差中项，则 即： 三个数为 或 （3）若 的等差中项，则 即： 三个数为 或 综上：这三数排成的等差数列为: Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质 例2（1）已知等差数列 满足 ，则 ( ) （3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n. 析： C （2）已知等差数列 前 项和为30，前 项和为100，则前 项和为 ( ) C 例3.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质： １．当a1＜0,d＞0时, ２．当a1＞0,d＜0时, 思路1：寻求通项 ∴n取10或11时Sn取最小值 即： 易知 由于 Ⅲ、等差数列的最值问题 例３.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2：从函数的角度来分析数列问题. 设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得: ∵a10, ∴ d0, ∵d0, ∴Sn有最小值. 又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值 即： 例3.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小? 分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n. 因为S9=S12, 又S1=a10, 所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, 所以Sn有最小值 ∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小 n Sn o n= 10.5 类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5 若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2 思路3：函数图像、数形结合 令 故开口向上 过原点抛物线 设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 ，则由题意得 解析： 通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法： 错位相减法——错项法 例4 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式； (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn ＝1 ，a2b2＝2，a3 b3 = ． Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用