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浙江省2005年1月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 　　本试卷分A、B卷，使用1983年版本教材的考生请做A卷，使用2003年版本教材的考生请做B卷；若A、B两卷都做的，以B卷记分。 A卷 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题4分，共28分) 1．设A=（0，1），B=［0，1］，则（　　　）。 A． B．= C． D．无法比较 2．可数个有限集的并集是（　　　）。 A．有限集 B．可数集 C．不可数集 D．无法确定 3．任意多个开集的并集是（　　　）。 A．开集 B．闭集 C．集 D．集 4．设｛An｝是一集列，则（　　　）。 A． B． C． D． 5．设f (x)是［0,1］上的单调函数，则f (x)是（　　　）。 A．连续函数 B．可测函数 C．有界变差函数 D．无法判定 6．设f (x)是E上的可测函数，，下述哪个说法成立？（　　　） A．mE［| f |=0］＝0 B．mE［| f |=∞］＝0 C．mE［| f |=0］＝1 D．无法判定 7．设fn(x)f (x)于E，则（　　　）。 A．fn(x)→f (x) B．fn(x)→f (x)a.e. C．存在{fn(x)}的子列{}使→f (x) D．存在{fn(x)}的子列{}使→f (x)a.e. 二、填空题(每小题4分，共40分) 1．设E是［0，1］中代数数全体，则mE=_______________． 2．设An＝（－2－，1－］，则=_______________． 3．设E°是E的开核，则E°与E具有关系E°_______________E． 4．设f (x)是［0,1］上的Riemann可积函数，E是f (x)的不连续点全体，则mE=_______________． 5．可测集与闭集有如下关系：闭集是可测集，反之_______________． 6．设P是Cantor集，f (x)=，则f (x)在1处的振幅为_______________． 7．设f (x)是ERn上的非负可测函数，记Rn+1中的点集 {(x, z)|x∈Z, 0≤z f (x)}为G［E,f］，则当x∈E时(G［E, f］)x=_______________． 8．设f (x)= ，则=_______________． 9．设f (x), g (x)是E上的可测函数，则E［fg］是_______________． 10．设f (x)是E上的可测函数，，则f (x)=_______________． 三、完成下列各题(每小题8分，共32分) 1．证明开集的余集是闭集。 2．证明集合E可测的充要条件是对于任意AE, BCE，总有m*(A∪B)=m*A+m*B． 3．设f (x), fn(x)(n=1,2,3,…)是E上a.e. 有限的实函数，对任意δ0，存在可测子集EδE，使m(E-Eδ)δ且{fn(x)}在Eδ上a.e. 一致收敛于f (x)，证明{fn(x)}在E上a.e. 收敛于f (x)． 4．设 试证明ln2＝1－＋－＋…＋+…． B卷 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题4分，共12分) 1．设f (x)是［a, b］的有界变差函数，则在［a, b］上一定（　　　）。 A．可导 B．连续 C．可微 D．有界 2．设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的开核是（　　　）。 A．Q B． C．R D．R＼Q 3．设{Fn}是一列闭集，F=，则F一定是（　　　）。 A．开集 B．闭集 C．开集，也是闭集 D．不能确定 二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“╳”。每小题2分，共12分) 1．整系数多项式的全体成一个不可数集．（　　　） 2．完全集是一个没有孤立点的闭集．（　　　） 3．设A与B是Rn的两个可测集，则A－B不一定可测．（　　　） 4．点集E的界点不是聚点就是孤立点．（　　　） 5．有界变差函数一定能表示成两个增函数之差．（　　　） 6．设f (x)与g (x)在E上可测，则E［fg］是E可测子集．（　　　） 三、填空题(每小题4分，共40分) 1．An=[0，1＋],则inf An=_______________． 2．A∩()=_______________． 3．设E={(x, y)| x2+y21},则在R3中=______________