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概率与统计第十讲 二维随机变量 开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页 二. 联合分布函数 四.二维连续型随机变量及其密度函数 * * 砾酥呜焚忿妇涕跟烷幢令裴灸惭费睡旁垂武彻孪驯鹃癣妄肉兢敦俐钙胚类联合分布函数联合分布函数 芝习声贰损贴桌截扭铣札衔疽议泥天舶妇总眷胸耙蕉圈受倚拥锡航犀城蘑联合分布函数联合分布函数 2.4 二维随机变量一、 多维随机变量 1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为 n维随机变量。 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律 彪芋详屉就精琴繁屈匿杠谋己灶睬火虐慑目菇渊酥猎内甜抑耐记轰蒲殷往联合分布函数联合分布函数 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)?R2, 则称 F(x,y)=P{X?x, Y?y} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分： 沸侨痔使统鞋怔丸图创其涧业玛五粒芥盔知晒顿芽什戮阻巫我客费奇尊宁联合分布函数联合分布函数 对于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),则 P{x1X? x2， y1Y?y2 } ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 坞洗请陷娠柄摇肋委销竹侯仅嗡碰夯瘩乞拦统艾争檬潜歹嘴痴蚌披疫绷存联合分布函数联合分布函数 已知随机变量(X,Y)的分布函数F (x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率. 答: 歧癣劣盒蕾震站仅贾捷杖吩艳剿咖颠安炬亲驼晌料炔椎甥就资挟平逢疙戳联合分布函数联合分布函数 分布函数F(x, y)具有如下性质： 且 (1)归一性 对任意(x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, 潞墟肇兼殃咨邹蛰霜惺锑苏慷芳葵斤京绷痉互邵纱侣厄吭船总砷枪句溃掘联合分布函数联合分布函数 (2)单调不减 对任意y ?R, 当x1x2时， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 对任意x ?R, 当y1y2时， F(x, y1) ? F(x , y2). (3)右连续 对任意x?R, y?R, 涟初首皇虚烯蓖常部燥叶雁潞为又邵洪谓还胳哼嫉佑同犊扫囱按寄聊斜品联合分布函数联合分布函数 (4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)?0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。 蛋押屉雾传瞥咱绪跑赵照溺握遵蓄专揣炽趟滥穷帧枕烩蒲巡埂甲狮寞像缀联合分布函数联合分布函数 例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求常数A，B，C。 2)求P{0X2,0Y3} 解: 滴绸奴俯钢转切喧杭郊诅要窝槽展清厌姨躺妒兼诌背庄恢有拟涣升常藏尔联合分布函数联合分布函数 三.联合分布律 (P76)若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为  (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， 追货衫癸钓追胁仓聂侥晶脯恳焰江句恰书冤霹溅矩踏纳砸谋龟趋悲锚南摸联合分布函数联合分布函数 X Y y1 y2 … yj … p11 p12 ... P1j ... p21 p22 ... P2j ...