大学物理 矢量分析.ppt

第一章 矢量分析 1.1、矢量的基本运算 (1.2学时) 1.2、矢量的通量和散度（3.4学时） 1.3、矢量的环量和旋度（5.6学时） 1.4、标量的方向导数和梯度（7.8学时） 第 1、2 学时1.1 矢量的基本运算 1.1.1标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示成 ? A=aA 其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。 一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。 空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZ X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.2矢量的加法和减法 矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量 1.1.3矢量的乘积 矢量的乘积包括标量积和矢量积。 1） 标量积 任意两个矢量A与B的标量积 (Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它 们夹角的余弦之乘积，如图 1-2所示， 记为 A·B=AB cosθ 2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3所示，记为 C=A×B=anAB sinθ ? an=aA×aB （右手螺旋） 矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即 A×B= -B×A ? A×(B+C)=A×B+A×C 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ?ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az= 0 ? 在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为 矢量函数的导数与积分 矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时间的函数。在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空间坐标和时间的变化率问题，既对上述变量的导数问题 矢量函数的导数与积分 矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量，它的分量等于原矢量函数各分量对该坐标的偏导数。这一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数。 矢量函数的积分包括不定积分和定积分两种，它们和一般函数的积分在形式上类似，所以一般函数积分的基本法则对矢量函数积分也适用。 矢 量 场 矢量场的矢量线 矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：