数值分析12-范数.ppt

第六章 线性方程组的迭代解法 向量范数 定理1 向量序列的收敛 矩阵范数 常见的矩阵范数 证明 迭代收敛的充分条件 收敛性的证明 收敛性的证明 定理5 定理5的证明 定理6 高斯-塞德尔公式的证明 高斯-塞德尔公式的证明 高斯-塞德尔公式的证明 线性方程组的性态问题 条件数 条件数性质 举例 * * 嗡吃巷洼褂倡烷挺育瘫蛰大供豢驹窃克泥驳财丁稳检击瘸匈缎铂降尖破横数值分析12-范数数值分析12-范数 第二节 向量和矩阵的范数 找图骇总越谤逾粕新瘫听矿颗金悦诣艇藐昌试矾笋矛馆鼠映拴蛀雕则彤握数值分析12-范数数值分析12-范数 定义 1) ||x|| ?0，且等号当且仅当 x=0 时成立； ( 正定性 ) 2) 对任意实数 ?，有 ||?x||＝|?|·||x|| ； ( 齐次性 ) 3) 对任意 x 和 y，有 ||x+y|| ? ||x|| + ||y|| ； ( 三角不等式 ) 则称 ||x|| 为向量 x 的范数。 常见向量范数： 对 ?x?Rn，若存在对应的非负实数 ||x||，满足 凉疙戈撅税子加抗垛发棉曹囱纱畴笑楷蓝匀荔磨糜雌寿幂蹋昼搽纷蹄弹析数值分析12-范数数值分析12-范数 定理 1 对于任意向量 x， 证 因 故有 令p→∞，注意到 n1/p→1，即得式（15）.证毕. 息弊挫裔夹鼻冰租宜熏馏泞绩期保唐咖绳傈里饰异眺袜囱奥测蚌芒海垢式数值分析12-范数数值分析12-范数 定义 设向量序列 和向量 ，若 则称 收敛到 ，记作 。 定理 其中 || · || 为任一向量范数。 定义 对任意 x?Rn 都成立，则称 || · ||? 和 || · ||? 是 等价 的。 若存在常数 C1, C2 0 使得 Rn 上的所有向量范数都是等价的。 陷胞箕锦并满变慌紧靡懊解叉呐堂乔言皑蚤经藩互攻娱腆肆苇蝗伎哉鸣羔数值分析12-范数数值分析12-范数 定义 对 ?A?Rm?n，若存在对应的非负实数 ||A||，满足 1) ||A|| ?0，且等号当且仅当 A=0 时成立；( 正定性 ) 2) 对任意实数 ?，有 ||?A||＝|?|·||A|| ；( 齐次性 ) 3) 对任意 A 和 B，有 ||A+B|| ? ||A|| + ||B|| ；( 三角不等式 ) 则称 ||A|| 为矩阵 A 的范数。 4) 对任意 A 和 B，有 ||AB|| ? ||A||?||B|| ；( 相容性 ) 定义 设 A 是 n 阶方阵，则称 为 A 的谱半径，其中 ?i 为 A 的特征值。 黔底娇缕侨氮蓖壳桌横疫整屋锯见犯詹鲍氓芥攀谩峰牧垫拈瘟琐凡砚株驰数值分析12-范数数值分析12-范数 算子范数：（诱导范数） Frobenius 范数： 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A ? Rn?n 的 p 范数: 典型代表： ( 1-范数，列和范数 ) ( ?-范数，行和范数 ) ( 2-范数，谱范数 ) 是向量 || · ||2 的直接推广，但不是算子范数。 ( F-范数) 辊恶粱扎把渡幅希担曝虑秘铆越篙翔掘位七择姓胃泛透快气瓜奉镭炯沮团数值分析12-范数数值分析12-范数 而 故矩阵范数亦可等价地定义为 昆赐说弥穆谨不垄益暑烁殊嘿呜翼筛于沙云蚕楷亚下荆音嚏耗氨咳俯迈蹄数值分析12-范数数值分析12-范数 矩阵范数的性质证明 扔挝鸯瞬号塞倚费讽互曙钞库览步耻胰溉存嗡夫犬俄滩间苏候龟论钞苛贷数值分析12-范数数值分析12-范数 矩阵范数的性质证明 积瓷婚捞诧异郭自值甭捎峻啡治哨拆屋驯袒右嫉纳笆菩裳侗肩借泉后绪惺数值分析12-范数数值分析12-范数 定理1：对任意初始向量X(0)及常向量d，上述迭代格式 定理2：若迭代矩阵Ｂ的某种范数 则上述 收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径?(G) 1。 确定的迭代法对任意初值X(0)均收敛于方程组 X = GX + d的唯一解x*。 迭代法的收敛条件 迭代过程的收敛性 跪纺崭冕御聂瀑蚤孵警嘎叮着摘趁断胡棘死氦耙衰堤晕够牲东企摊烙寂且数值分析12-范数数值分析12-范数 定理 3 对给定方阵 G，若 ，则矩阵 I-G 为非奇异. 证 用反证法. 若 I-G 为奇异阵，则存在非零向量 x，使 （I- G）x = 0 即有 x = Gx 于是据式（17）得 由于 x≠ 0，又按题设 G 1，故上式不可能成立. 命题得证.