线性空间及线性变换.ppt

注(理论链接):关于线性空间的同构概念和性质如下: 设: 则: 因此 是一个V到V/的同构映射,从而V≌V/. □ (1)设V与V/都是域F上的线性空间,如果有V到V/的一个双射 ,使得对于任意 V,k∈F,有. 滚仇饶溜烈郊卤牵嚎交海鉴钠棉糊棋前沮矢扦爹燎档已血追还创前匠与铺线性空间及线性变换线性空间及线性变换 那么称 是V到V/的一个同构映射(简称为同构).如果V到V/有一个同构映射,则称V和V/是同构的,记为V≌V/. (2) (0) 是V/的零元素0/. (3)对任意的 ,有 . (4)对于V中的任一组向量 ,F中任意一组元素k1,k2,…,ks有: (5)V中向量组 线性相关,当且仅当 是V/中线性相关向量组. (6)如果 是V的一个基,则 是V/的一个基. 众思旋舰图独趋匣披邪熬吕悲靶云道魁裂淖损嘻凝措舌睛束制罗睹灌逐蠢线性空间及线性变换线性空间及线性变换 证明如下: 考点3:线性映射、线性变换与矩阵 由(5)可知 是V/的一个线性无关的向量组.任取 ,由于 是V到V/的一个满射,因此存在 ,使得 . 设: 则: 因此 是V/的一个基. 考点点拨：对线性映射的定义,线性变换在不同基下的矩阵表示及联系的考查,其中包括了对线性变换的逆与直和及子空间一系列概念的综合考查. 淀重没晰糊昆贤垢牧叼偷君抨警剑姻驯鸭绚珐间数着亦叠钝毯萨曼测再雀线性空间及线性变换线性空间及线性变换 例6.3.1 (上海交通大学,2004年) 设 为线性空间V的一个线性变换, .证明: (1) 的特征值只能是1或0. (2)若用V1与V0分别表示对应于特征值1和0的特征子空间,则 , . (3) 解: (1)不妨设 为 的某个特征值,对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量)为 ,那么由于 ,有 ,也即有 ,于是 ,那么 或 .于是 的特征值只能为1或0. (2) 使得 ,那么 葱汾渗牢单拧婆艾葬袄腋缸契羊淄躲辞油阜贝青棉唾晶著隙呛抉慧辨秤妮线性空间及线性变换线性空间及线性变换 那么有 ,于是 . 另一方面,若 ,那么 ,显然有 ,即有 . 于是有 . ,即有 ,显然有 ,即有 . 若 ,那么 ,即 ,于是 ,则 . (3) 于是V=V1+V0. 语盈囊脏身痛险邀砰鹰贴碉雹坟芳处额熙痰剖蔼情虐虫熄缚伤狰抬次娇昧线性空间及线性变换线性空间及线性变换 证明: (1)必要性 而若 V1∩V0,那么有 . 即有