蒙提霍尔问题的探究.docx

蒙提霍尔问题的探究韩院明(河南大学数学与信息科学学院开封475004)摘要本文回顾了概率论的发展过程以及它的广泛作用.针对与概率论联系紧密的游戏问题“蒙提霍尔问题”，根据所学知识，利用全概率公式、贝叶斯公式分析解决该问题，并扩展利用高等代数、软件来进行解析.在此基础上还做出进一步推广到生活中的其他问题，最后得出结论和对我们生活、学习等的启发.关键词全概率公式贝叶斯公式直觉逻辑1 概率论发展简史1.1 概率论起源（游戏与概率论）人们经常玩游戏和作趣题,有关游戏起源的书籍中会列举许多古代游戏的例子,这些游戏至今人们仍在玩.而数学与游戏两项人类的活动在许多方面有共同的特点[1].一般认为，游戏是一个广泛的概念，以直接获得快感为主要目的，且必须有主体参与互动的活动.事实上，谈及游戏，人们的一般反应就是娱乐.确实，游戏首先是用来愉悦心情的，用来娱乐大众的.游戏本身就是文娱活动的一种，分为智力游戏和活动性游戏.前者可以发展智力，后者可以强身健体.而数学则是带有文艺风度的智力工作，同时是具有巨大实用价值的自然科学.在传统数学领域和现代数学中都能发现大量的具有游戏性质的内容和问题.最早纯粹的关于游戏性数学问题的书籍出现在17世纪，其后200年中，数学中的游戏及迷题的种类和数量迅速增加.在这个时期内人们的兴趣大都集中在数字的奇特性、几何迷题、算术故事问题、魔方、赌博等游戏.概率论直接起源于十七世纪中叶的一个关于赌博的游戏.当时，法国的一个赌徒在针对赌博中常常遇到的怎样合理分配赌注问题时，向著名数学家帕斯卡请教:“现有两个赌徒相约进行赌博若干局，谁先赢局就算赢，当赌徒赢局，而赌徒赢局时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”后来，帕斯卡和费马在通信中各自解决了这个问题.1657年，荷兰的另一数学家惠根斯亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这也是是概率论最早的论著.对于这个问题的解决和研究标志着不同于以往的确定性数学的一种崭新的数学方法--概率论的诞生，它把纯粹偶然事件的表面上的无规律性置于规律、秩序和规则之下，从而成为人类的根本知识之一，并具有广泛应用价值.1.2概率论的发展及现状使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利.他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”.这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著《猜度术》中.到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”.这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形.而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义.另外，他又和其他数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论[2].1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作.其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来.由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者.在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破.公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点.到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科.因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支.现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着非常重要的作用.概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展.2 蒙提霍尔问题的提出2.1 问题提出三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Lets Make a Deal.问题以该节目的主持人的名字蒙提·霍尔（Monty Hall）命名.问题是这样的：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会[3]？2.2 有关蒙提霍尔问题的一个著名叙述来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊.你选择了一道门，假设是一号