薄板弯曲的变分原理及有限元素法.doc

薄板弯曲的变分原理及有限元素法 3.1 基本问题 基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为以下。 反之，越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。 除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（）之比，即横向剪切随的增大而增大。通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。本章仅考虑小挠度薄板问题。 基本假设：取板的中面为平面，取轴与轴垂直，设板的厚度为，可以是的函数。 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。 由此得： 内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般最大，约小一个量级，而又小一个量级；在静力学分析中，。 控制方程（内力平衡方程及物理方程） 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量可用5个内力表示，即： （矩定义为单位宽度上的矩） Note：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。 用内力表示的平衡方程： 分布的横向载荷 在薄板理论中，内力不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去 即得： 几何关系： 物理关系：（各向同性体） 点应力应变关系： 内力与应变关系： 注意： 单位面积上的应变能及余应变能（密度） 应变能密度（曲率作为自变量）变分： (单位长度上转角的变化) ∴ （这也是一种物理关系） 代入关于内力矩的物理关系，有： 注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U 0，故U称为正定的二次齐次函数。 余应变能密度：（可看作是内力矩的函数） 当板的变形由一种状态变到相邻的另一种状态时， V的变分为： 在以前的研究中，我们把内力表示成变形的函数，从而构造和研究关于变形的泛函；在这里，我们把体系中的两类量都看成独立可变的，故有上式，（上式中由于V的表达式，变分的结果又可只认为只有内力矩变化）。这是一种认识观点，对于后面理解广义变分原理有利的。当然，还应当注意这两类变量之间存在着物理关系的约束。 由的表达式可知： （研究其中一项时，让其它两项的变分为0） 代入内力矩关系，可知V是的正定二次齐次函数。 用挠度表示的平衡关系： 把内力矩的物理关系及曲率的几何关系代入原平衡方程，即得： （双调和方程） 坐标旋转引起的变换 在研究板问题时，经常用到不同坐标系表示的包括法向导数等，因此在不同坐标系下，板弯曲的基本量之间有什么联系是我们经常要遇到的计算。 取两个不同的坐标系，如右图 坐标变换关系： 函数的方向导数： 对于一个函数 由求导的链式规则： 同理： 只要将F换成w即得曲率在不同坐标系下的转轴公式。 弯、扭矩的转轴规律 应注意到是单位宽度上的矩，推导时要依据平衡关系。 由此得： 剪力的转轴规律符合矢量投影规律，即： 典型的边界条件 （如右图） ：板在平面上所占区域； ：板的边界； ：边界外法线； ：边界切线方向；符合右手定则 典型边界条件有三种： 固支边：如在上，， 这里， 为上已知的关于弧长的函数。 简支边：如在的部分边界上简支，则有： 为上已知的关于弧长的函数。 自由边：在自由边上(指无位移限制)已知作用在边界上的力（即所谓的自然边界条件）。 从内力和内力矩角度看，边界上能反映出来的有三个，但不能取：，， 因从做功角度讲，和并不完全独立，分析如下： 给自由边界上的挠度有一变分，则在上所作的功为： 可见，相当于线分布载荷以及作用在自由边两端的集中载荷。由于在自由边两端总是有支持的，所以在该两端上的对板变形不产生影响，所以分析时略去不计。 ∴ 由上分析，是与相应的广义力，故自由边的边界条件应为： 在上，，（与点应力的力边界条件相似） 是已知作用在上的线布载荷。 若在自由边界的某一点上有一集中载荷p，那么有： p表示单位宽度上的力。 若没有集中载荷，应是s的连续函数，的跳跃量相应于集中