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行列式的应用 1 特殊行列式在其它数学学科中的应用 1.雅可比行列式以个元函数的偏导数为元素的行列式通常称为雅可比式(Jacobian)。 常记为。 事实上,在函数都连续可微即偏导数都连续的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵即雅可比矩阵的行列式。是由方程组的所有一阶偏导数按一定顺序排列组成的，已知 ，， 雅可比行列式的第行是由函数关于每个独立变量的偏导数组成的，第列是由函数关于第个变量的偏导数组成的。如果=0，方程为函数相关的；如果0，则方程为函数无关的。 例. 已知利用雅可比行列式判断其函数相关性。 解：首先，求一阶偏导数： =5，=3， =，= 然后，构造雅可比行列式 ， 求值得=0，故方程之间是函数相关的。 2.二阶海赛行列式 由所有的二阶偏导数构成，其中二阶直接偏导数位于主对角线上，交叉偏导数位于非对角线的位置的行列式称为海赛行列式，记。 =，其中， 如果位于对角线上的第一个元素即第一主子式=0且第二主子式==，则极小值的二阶条件成立。 当0，0，则海赛行列式被称为正定的，一个正定的海赛行列式完全能胜任极小值的二阶条件的角色。 如果第一主子式0，第二主子式0时，海赛行列式被称为负定的，则极大值的二阶条件成立。一个负定的海赛行列式完全能胜任极大值的二阶条件的角色。例:有一经济函数，证明在=1，=2处达到最优，二阶偏导数=6，=4，==-1，利用海赛行列式验证二阶条件满足最优。 解：==，==60，==230，则海赛行列式为正定的，从而经济函数Z在临界处取得最小值 3. 三阶最优化问题中的海赛行列式 已知，三阶海赛行列式为=，其元素为y的各个二阶偏导数：，，等等，极小值或极大值的条件则取决于第一、第二和第三主子式的符号。如果=0，=0，=0，则正定，完全胜任极小值的二阶条件。如果0，=0，=0，则为负定，满足极大值条件。 更高阶的海赛行列式有类似的结论：如果的所有主子式为正，则为正定，满足极小值的二阶条件，如果的所有主子式的符号在负与正之间交替出现，为负定的，则极大值的二阶条件成立。 例: 有一个外商投资企业，生产两种产品，试分析： (1)在完全竞争市场中生产技术相关产品的利润最大化水平； (2) 竞争性市场中两种技术无关产品的利润最大化水平； (3)在完全垄断市场中两种产品互补和替代时的利润最大化水平。 解：(1) 在完全竞争市场中总收益和总成本函数为 两种商品在生产中技术相关，一种产品的边际成本依赖于另一中产品的产出水平 ，= 一阶条件为 ， 矩阵形式为： 由克莱姆法则可得 ，， 所以, ， 利用海赛行列式检验二阶条件 ，， 则负定，从而利润取得最大值。 竞争市场两种技术无关产品利润最大化时的总收益和总成本函数为 ， 利润为: ， ， ，， 则负定，利润有最大值。 (3)完全垄断市场中互补和替代产品的利润最大化。 a. 完全垄断市场两种互补性产品 ，， 矩阵形式为 ，， 为负值，存在最大利润。 ｂ.， 　 ， 矩阵形式为 ，， ，， 为负值，利润可达到最大化。 即甲乙两种产品的单位价格分别为1.2与1.5，甲乙两种产品的单位利润分别为0.1与0.2。 2. 行列式在几何中的应用的应用 通过定点的曲线和曲面方程 例：如果平面上有两个不同的已知点（x1,y1）,(x2,y2), 求通过这两点的直线方程。 解：设直线方程为：ax+by+c=0, 且a,b,c不全为零。由于（x1,y1）, (x2,y2)在这条直线上，所以满足直线方程，则有 这是一个以a,b,c为未知量的其次方程组，由于a,b,c不全为零，则该方程组必有非零解。于是，系数行列式等于零。 这就是用行列式表示的通过已知两点的直线方程。 注：上述的求解思路也可用于求解过三点的平面方程；求解过n+1个不同点的n次多项式： 3.行列式在差值问题中的应用 问题：在实际问题中会遇到这样的情况,函数y=f(x)的表达式很复杂或者根不不知道其具体表达式，而只能通过实验得到该函数在一些点x0,x1,…，xn的函数值y0,y1,…，yn。要寻找一个函数来近似代替f(x),要求满足： 现在的问题是如何得到 方法：一种简单常用的方法是把 设成次数不超过n的多项式： 该方程组的系数行列式即为范得蒙(Vandermonde)行列式： 如果节点x0,x1,…，xnPn(x). 不难得到这个多项式的行列式表示形式是： 按第n+1列展开，Pn(x)是关于x的n次多项式： 这个公式称为Lagran