行列式的特殊解法.doc

【title】 Act3???Cramers Rule【Content Arrangement】:?????? 1）Cramers Rule 2）Some methods to compute determinant Act3-1 Some methods to compute the determinant （行列式的特殊解法【Content Arrangement】:?? 　?1、化为三角形2、降阶法 ? 3、 Vandermonde ? 4、 ? *5、 *6、 *7、拉普拉斯定理的特例 化为三角形（加边法）例： 2、降阶法? 解 ： ?????????? ???? ?????????????????? 请计算当a=1,b=2,c=3,d=0时，D的值？(不要套公式) 3．Vandermonde : Vandermonde行列式 ? 证明 用数学归纳法。 ?? 当 n=2时， 成立。 假设该结论对n-1阶成立，现证明 n阶也成立。 在 中，第n行减去n-1行的 倍，n-1行减去 n-2行的倍，依次类推，得 ? ???????????????? 4。递推法： 例： 解：按第一列展开，得： ????? 而： 。?故 5、 例：计算行列式 解： 6、 例： ? 解：很明显， =1，2，3，…， =0,而是的次多项式，首项系数为1。 且 , ,…, 为互质多项式，故 , ,…, | ??????????? 　 7拉普拉斯定理的两个特例 ? ? ? Act3-2??? Cramers RuleNow we will discuss the system of n linear equations in n unknowns. 　Theorem1: The system of linear equations （1） The determinant is called the coefficient determinant of the system.. If the coefficient determinant D of the system is nonzero, then the system (1) has precisely one solution, given by the formulas. （2） whereis the determinant obtained from D by the jth column by the column with the elements b1,...,bn. Proof： 2）是方程组的解。为此把 （i=1，2，…，n）代入方程组的第k个方程左端得， ????????? ??????? ??????? ??????? ??????????? 由行列式性质7、8有， ?????????? ?????????? 下证解的唯一性： 设有另解 ,? 只须证 ???????? 同理可得，证毕。 本定理适用条件： ?? 1、n个未知数，n个方程得方程组； ?? 2、系数行列式D不为零； ?? 3、若D=0，方程组可能无解或有无穷解。 Definition： If? b1=0,...,bn=0, we call the system homogeneous.? trivial solution： ） Corollary1: A homogeneous system of n linear equations in n unknowns with nonvanishing determinant has only the trivial solution.? Corollary2: If a homogeneous system of n linear equations in n unknowns has nontrivial solution, then D= 0. Example1：Solve the following system of? linear equations . Solve: ?????????? 解的分子行列式为： ???? ??? ????? ??? ???????? 所以解为： Example2：Solve the following system Solve: 系数行列式为： 所以方程组只有零解，即 x=0,y=0,z=0??【随堂练习】 1.方程组 有非零解， ?????? 。Answer:? 2.设多项式 ，证明：若有 个互异零点，则恒等于零。Proof:设