行列式的计算方法小结.doc

幻灯片1 幻灯片2 1、定义法：适用于0比较多的行列式． 2、利用性质化三角形行列式 3、?按行（列）展开 4、?其他方法： 析因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法 幻灯片3 （一）析因子法 幻灯片4 幻灯片5 （二）箭形行列式 第1列，得： 幻灯片6 可转为箭形行列式的行列式： （把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式） 幻灯片7 （三）行（列）和相等的行列式 幻灯片8 幻灯片9 幻灯片10 （四）升级法（加边法） 幻灯片11 幻灯片12 （五）递推公式法 幻灯片13 （先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形 关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶） 幻灯片14 （六）拆项法（主对角线上、下元素相同） 幻灯片15 继续下去，可得 幻灯片16 幻灯片17 （七） 数学归纳法 例、证明： 幻灯片18 幻灯片19 幻灯片20 （八） 范德蒙行列式 幻灯片21 幻灯片22 练习1、计算 幻灯片23 幻灯片24 幻灯片25 幻灯片26 练习2、计算 于是有　　 幻灯片27 同理有　 幻灯片28 练习3、计算 幻灯片29 幻灯片30 幻灯片31 练习4、证明： 幻灯片32 幻灯片33 练习5、计算 幻灯片34 例：计算 解：由行列式 定义知为 的4次多项式． 又，当 时，1，2行相同，有 ， 为D的根． 当 时，3，4行相同，有 为D的根． 故 有4个一次因式: 设 令 则 即， 解：把所有的第 列 的 倍加到 解： 解 解： 1) 展开 解 而 由以上两式解得 行列式的值求出 的值） 解： 当 时 当 时也可以用加边法做：　　　　　　　 证：当 时， ，结论成立． 假设 时结论成立，即， 对 ，将 　按最后一列拆开， 所以 时结论成立，故原命题得证． 例、计算行列式 解：考察 阶范德蒙行列式 显然 就是行列式 中元素 的余子式 ， 即 　　　　　,（ 为代数余子式） 又由 的表达式及根与系数的关系知， 中 的系数为： 即， 解 开 解： 即有　　 即 解 ① 又 ② ① ② ，得 当 时 当 时 证： 时， . 结论成立． 假设 时，结论成立． 当 时， 按第 行展开得 由归纳假设 于是 时结论亦成立，原命题得证． 解：考察 阶范德蒙行列式 显然 就是行列式 中元素的余子式 ，即 由 的表达式知， 的系数为： 即