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第12讲 6.3 利用微分关系作内力图 6.3 利用微分关系作内力图 内力图特点 1.若梁上某区段内无荷载作用，即q(x)=0，则该区段内的剪力图为水平直线，弯矩图为直线。 2.若梁上某区段内有均布荷载作用，即q(x)=常量，则该区段内的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力为零的截面处，弯矩有极值。 3.若梁上的外力具有对称性，则弯矩图为正对称，而剪力图为反对称。 4.集中力或集中力偶作用处在集中力作用处，剪力图有突变，突变量等于该集中力的大小，弯矩图有尖角；在集中力偶作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变量等于该力偶的力偶矩值。 * * 能学会利用微分关系快速且准确的作出内力图。 本 讲 教 学 目的与要求 用方程法作内力图 复习旧课 要 点 第六章 6.3 利用微分关系作内力图 章 节 及 课 题 班 级 授课日期 课后记录 习题6.3 (c) (e) 课外作业 简易法作内力图 教学重点 和 难 点 运用多媒体讲授。 教学设计 （方法、 教具、 手段、 内容） 内容回顾： 比较剪力图和弯矩图可以看出，在集中力作用处，其左、右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力发生突变，突变量等于该集中力的大小。发生这种情况的原因是由于把实际上分布在一个微段上的分力抽象成了作用于一点的集中力所造成的，因此无法说集中力作用处截面上的剪力是多少，只能说该截面左侧或右侧截面上的剪力是多少。另外，在集中力偶作用处，其左右两侧横截面上的剪力相同，而弯矩发生突变，突变量等于该力偶的力偶矩值。其原因类似于集中力作用处剪力发生突变。 一、弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系 dx q(x) Q (x) M(x) Q (x)+dQ (x) M(x)+dM(x) ΣFY=0 Q (x)-[Q (x)+dQ (x)]+q(x)dx=0 ΣMC (F) =0 [M(x)+dM(x)]-M(x)- Q (x)dx-q(x)dx· dx 2 =0 dQ (x) = q(x)dx dM(x) dx =Q (x) 高阶微量 dM(x) =Q (x)dx （6.1） dQ (x) dx =q(x) (6.2) d2M(x) dx2 =q(x) (6.3) c D 上述三式反映了弯矩、剪力与荷载集度之间的内在联系。对弯矩图和剪力图来说，这些关系的几何意义是：式（6.1）表明剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。式（6.2）表明，弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。利用这些关系有利于绘制剪力图和弯矩图，下面结合常见的荷载情况作些说明。 dQ (x) dx =q(x) dM(x) dx =Q (x) (6.2) d2M(x) dx2 =q(x) (6.3) (6.1) 三次抛物线 二次抛物线 斜直线(Q(X)=0时为水平线 M图图线类型 二次抛物线 斜直线 水平线 Q图图线类型 q(x)=x/l *qo q(x)=常数 q(x)=0 三角形分布区段 均布区段 无荷载区段 梁段荷载 梁段上的荷载与内力图图线类型的关系 二、简易法作剪力图和弯矩图 作剪力图和弯矩图的关键是确定图线的类型和位置，利用荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系来判断每一区段剪力图和弯矩图的图线类型，然后算出控制截面上的剪力和弯矩值，绘出内力图。而不必写出内力方程，从而使作图过程简化，故这种作图方法称为简易作图法。 作图步骤： 1.建立坐标系、分区段：集中力、分布力的边界为分段点。 2.逐段绘图线 ⑴根据微分关系判断图线类型 ⑵用截面法计算控制截面的内力。其中水平线确定任一点；斜直线确定两端点；曲线确定两端点、凸向、极值点 （3）标值、单位、正负号、纵标线 例 用简易作图法作图示梁的剪力图和弯矩图。 q A B C l/2 l 解 1.求支座反力 FB FA ΣMB(F)=0 ΣMA(F)=0 FA= 8 1 ql FB= 8 3 ql 2.建立坐标系、分区段:AC 、CB 3.逐段绘图线 AC段：无荷载，剪力图为水平线弯矩图为斜直线 x Q x M + ql/8 + ql2/16 9ql2/128 CB段：剪力图为斜直线线 弯矩图为向下凸的抛物线 - 3ql/8 x 4.标值、单位、正负号、纵标线 （剪力图） （弯矩图） 作各梁的剪力图、弯矩图。 解 1.求支座反力 ΣMA (F) =0 ΣMB (F) =0 Q1 =10kN M1 =20kNm Q2 = －5kN Q3 = 0 M3 =0 FB＝25kN(↑) FA＝10kN (↑) 2.建立坐标系、 分段（4段） 1 1 2 2 3 3 5kN/m A B 15kN 2m 2m 2m 2m FA FB C D E x Q x M 3.逐段作图 AC