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解决变力做功问题的方法 四川省宣汉中学 冉林涛 在求功公式中，F是恒力，即在做功过程中，F的大小、方向都不变。当F是变力时，该怎样求功呢？ 1. 转化为恒力做功 在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。 例1. 如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图1中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。 图1 分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。 由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为： 所以绳对物体做功： 2. 用动能定理 动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△Ek是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。 例2. 如图2所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点。物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。 图2 分析：物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用：重力G、支持力和摩擦力。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。 由动能定理，其中 所以 代入数据解得 3. 用W=Pt 利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。 例3. 质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。 分析：汽车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功 再由动能定理得： 所以 4. 用图象法 在图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。 例4. 放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。 分析：由题意作出图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即 图3 5. 用平均值 当力的方向不变，而大小随位移线性变化时(即Ｆ＝ｋｓ＋ｂ 例5. 要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。 钉子在整个过程中受到的平均阻力为： 钉子克服阻力做的功为： 设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量： 所以 6. 用功能原理 除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。 例6. 如图4所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？ 图4 分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用求解。 该过程中，物体要经历图4所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为： 由功能原理可知 当时，最小，为： 。