解析几何的关系问题.doc

3. 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G、M分别是的重心和外心，，，且， （1）求点C的轨迹方程； （2）是否存在直线m，使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设，则， 因为，所以，则， 由M为的外心，则，即， 整理得：； （2）假设直线m存在，设方程为， 由得：， 设，则，， ＝， 由得：， 即，解之得， 又点在椭圆的内部，直线m过点， 故存在直线m，其方程为. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断； 4. 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12．设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为，直线方程为， 由得：，设， 则…………① 又，故，即…………② 由①②得：，， 则＝， 当，即时，面积取最大值， 此时，即， 所以，直线方程为，椭圆方程为. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知，，且， 求的最大值和最小值. 解答过程：设，，， 因为，且， 所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为，令， 则＝， 当时，取最大值， 当时，取最小值. 5. 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文） 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 ， ． 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q点使, ． 整理得 ， 代入 ． 得: , ． 因此不存在符合题意的Q点. 例8．（2007年安徽卷理） 如图,曲线G的方程为.以原点为圆心，以 为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B. 直线 AB 与 x 轴相交于点C. （Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为,求证：直线CD的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I）由题意知， 因为 由于 （1） 由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为 又因点A在直线BC上，故有 将（1）代入上式，得解得 . （II）因为，所以直线CD的斜率为 ， 所以直线CD的斜率为定值. 例9．已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若以点为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求： （1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程. 解答过程：（1）设A、B坐标分别为， 则，，二式相减得： ， 所以，， 则； （2）椭圆E的右准线为，双曲线的离心率， 设是双曲线上任一点，则： ， 两端平方且将代入得：或， 当时，双曲线方程为：，不合题意，舍去； 当时，双曲线方程为：，即为所求.