解析几何中的若干问题（一）.doc

解析几何中的若干问题（一） 一、弦长问题 在直线与圆锥曲线中，经常碰到计算弦的长度，一般是由解方程消去（或）后，由弦长公式（或）解决，若弦经过焦点也可通过焦半径解决. 例1.设椭圆与一斜率为的直线交于A、B两点，求△OAB面积的最大值. 解：不妨设AB方程为代入， 消去，得 由，得，∴ 设A，B，则 ∴ 而点O到直线AB的距离 ∴ 当且仅当即时，. 例2.已知直线交椭圆于A、B两点，若为的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求的取值范围. 解：由，消去，得： 由得，∴ ∴的取值范围是 例3.经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的弦AB， 求：（1）|AB|；（2）△F2AB的周长（F2为右焦点）. 解：如图易得F1F2 （1）设A，B， 易知AB的方程为： 由，消去，得 ∴ ∴|AB| （2）由焦半径知|AF2|， |BF2| ∴△F2AB的周长 二、弦的中点问题 化点相减法（“点差法”） 常见结论：设直线与椭圆相交于A、B两点，设A，B，线段AB的中点M，则 ，两式相减得： ∴，∴； 同理对于双曲线，有； 对于抛物线，有. 例4.已知椭圆，求斜率为2的平行弦的中点的轨迹. 解：设弦为MN，M，N，MN中点P，则有 ∵M、N在椭圆上，∴ 两式相减，得 ∴为点P满足的方程 又，得 ∴所求点的轨迹是线段： 例5.已知椭圆C：，试确定的取值范围，使椭圆C上有不同的两点A、B关于直线：对称. 解：设A，B，AB中点M，则 由，两工相减得：即……① 又点M，∴……② ①②解得，即M ∵弦中点M在椭圆内部有： ∴，解得 例6.如图，P是抛物线C：上一点，直线过点P且与C交于另一点Q， （1）若直线与点P处的切线垂直，求线段PQ的中点M的轨迹方程； （2）若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，试求的范围. 解：（1）设P，Q，M，则有且 由得 ∴过点P的切线的斜率 ∴直线的斜率为 方程为 由，两式相减得，即 又M，∴，将代入得 化为为所求M的轨迹方程 （2）设，作QQ′⊥轴，PP′⊥轴 ∴（设P，Q） 由，得， 则 ∴（但，∴“=”不成立） ∴的取值范围是 另解一：……① 若，则① 若，则① 另解二：由P、T、Q共线各 ∴ ∴ 三、焦半径问题 圆锥曲线上的点与焦点之间的线段，可以得用统一定义转化为坐标的问题，得下列公式： ①对椭圆上一点P及有，；若焦点在轴有，（为下焦点）； ②双曲线有类似性质，可自行利用定义推导； ③若在上，，则有. 例7.已知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线离心率最大值是多少？ 解：设P，如图，由双曲线的第二定义知 ∴ ∴ 由，知， ∴ 而P在双曲线右支上，∴， ∴，∴ ∴的最大值是 另解：，得，而，∴即） 例8.已知双曲线的左右焦点分别为，P是左支上一点，且P到左准线的距离为，若存在点P使成等比数列，求离心率的取值范围. 解：设存在点P符合条件，由定义知， 又，∴ ∴ ∵等比 ∴ 得（舍去），或 又，∴ ∴，∴即 ∴，结合，知 例9.设A是椭圆上任一点，过A点的切线为，设是原点到直线的距离，分别是A到椭圆两焦点的距离，试证：为常数. 证明：对两边求导得： ∴，∴ ∴的方程为即 ∴ 又椭圆可化为，∴ 由焦半径公式可得 ∴为常数.证毕 四、焦点三角形问题 处理方法：1°利用第一定义；2°利用正余弦定理（当有直角时，使用勾股定理） 例10.P为椭圆上的点，F1、F2是两焦点，若∠F1PF2 = 30°，求△F1PF2的面积. 解：如图，设， 由余弦定理得： 即……① 由椭圆定义知……② 由①②消去，得 ∴ 例11.设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，求cos∠F1PF2的最小值. 解：如上例图形， ∴cos∠F1PF2的最小值为（即P为短轴端点时取到最值） 例12.设P为椭圆与双曲线的一个交点，它们有共同的焦点 ，求cos∠F1PF2的值. 解：如图， 由余弦定理得：……① 由椭圆的定义得：……② 由双曲线的定义得：……③ ①②，得： ①③，得： ∴，解得为所求 例13.已知椭圆的两焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2 =60°， （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）求证△F1PF2的面积只与椭圆短轴长有关. 解：（1）如图，由余弦定理得： ∴ ∴ ∴，得 ∴ 另解一：正弦定理得：（合分比定理） ∴，得 ∵ ∴ 另解二：（小题做法）∵∠F1BF2≥∠F1PF2，∴∠F1BF2≥60°，∴∠OBF2≥30° ∴， （2）由（1）知 ∴ 故只与短轴长有关，得证. 五、抛物线的焦点弦问题 如图AB是抛物线的焦点弦，且A，B，直线AB的倾斜角为，F为焦点，求证： （1）； （2）； （3）； （4）为定值