解析几何(圆锥曲线)全国名校高中数学模拟试题汇编.doc

2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编 圆锥曲线 1、已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。 （1）的方程为，由已知，得，解得 所以椭圆的标准方程为 （2）。由椭圆的标准方程为，可知 同理………4分，∴ ∴…………5分时，由，得 从而有 设线段的中点为，由 …………6分的中垂线方程为…………7分，该直线恒过一定点…………8分时，或 线段的中垂线是轴，也过点， ∴线段的中垂线过点 （3）由，得。 又，∴ … ∴时，点的坐标为 2、中，已知椭圆的离心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1 ． (Ⅰ) 求椭圆的方程； (Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得： （2分） ∵，∴， （4分） 又得 ∴ ∴， ∴所求椭圆C的方程为． (Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为 则，, 由－4得－， ∴点P的轨迹方程为. 设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得： ，解得：， ∵点在椭圆上，∴ ， 整理得解得或 ∴点P的轨迹方程为或， 经检验和都符合题设， ∴满足条件的点P的轨迹方程为或． （15分） 3、：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，. （1）求椭圆的方程. （2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程. 解：(1) 又 （2） 即 4、， 是平面内一动点，直线、斜率之积为. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程； (Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 解: (Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有 . 化简并整理，得 . ∴动点的轨迹的方程是. (Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, ………6分 由方程组 消去，并整理得 设,,则 ∴ ∴, , (1)当时，； (2)当时, . . 且 . 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分 解法二：依题意，直线过点且斜率不为零. 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； …………6分 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, 由方程组 消去，并整理得 设,,则 ∴ , , . . 且 . 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：. 5、=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=． （Ⅰ）求C1的方程； （Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程． 解：（Ⅰ）由：知． 设，在上，因为，所以，得，． 在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同， 故的斜率．设的方程为． 由 消去并化简得 ． 设，，，． 因为，所以． ． 所以．此时， 故所求直线的方程为，或． 6、，P是其右支上任一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，Q是P F1上的点，N是F2Q上的一点。且有 求Q点的轨迹方程。 7、中，向量，且 .（1）设的取值范围； （2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程. 解：（1）由， 得 ∴夹角的取值范围是（） （2） ∴当且仅当 椭圆长轴 故所求椭圆方程为. 8、椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． （1）求椭圆方程； （2）若，求m的取值范围． （1）设C：＋＝1（