解直角三角形的实际应用.doc

解直角三角形的实际应用 ???王德义 ? ????解直角三角形知识的解决测高、测距等实际问题方面具有重要作用，是中考命题的热点之一。现在以北师大版教材《数学》九年级下册第一章第4节中的题目为例，归纳这类题的解题策略，供读者参考。 一.?基本题型 ??例1.?如图1，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流。（该题是课文开头导入课题的讨论、交流题） 图1 ? ??例2.?（P21“想一想”）如图2，小明想测量塔CD的高度。他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m） 图2 ? ??例3.?（习题1.6第2题）有一座建筑物，在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°。向建筑物前进50m到B点，又测得C的仰角为45°，求建筑物的高度（结果精确到0.1m） ????在例1中，要判断货轮继续向东航行途中会不会有触礁的危险，只需求出货轮的航行途中距岛A的最近距离。如图1，作AD⊥BC交BC的延长线于D，该题实际上是求线段AD的长。例2明确指出是求CD的长。根据例3的题意画出图3，CD表示建筑物，该题和例2相似，都需求出线段CD的长。我们认真观察、比较图1、图2、图3，发现这三道题可归结为下面的基本题目。 图3 ? ??例4.?如图4，已知点A，B，D在同一直线上，且A，B在点D的同侧，CD⊥AD于D，AB＝m，∠CAD＝α，∠CBD＝β，求CD的长（用含α，β，m的式子表示）。 图4 ????分析：该题图中存在两个直角三角形：△ACD和△BCD。它们有一条公共直角边CD，另一对直角边之差AD－BD＝m为已知。根据锐角的正切定义，可用含CD的式子表示AD和BD，然后列出等量关系式求解。 ????解：在△ACD中，∠ADC＝90°，由锐角的正切定义得，即 ????同理，在△BCD中有 ???? ???? ????解得 ????评注：例4的解答方法是利用两个直角三角形中的边角关系和已知条件AD－BD＝m，列出关于CD的方程，再解方程求出结论。有了例4的解法，例1、例2、例3便迎刃而解了。 ????说明：例4解答过程中的方程还有其他列法，同学们可尝试别的方法。 ? 二.?基本题型的引申、推广 ??例5.?若把例4中“A，B在点D的同侧”改为“A，B在点D的两侧”，其他条件不变（如图5），求CD的长。 图5 ????解：由例4的分析、解答过程可知 ???? ????解得 ????评注：例4和例5是解直角三角形应用题的两个试题模型，利用这两个试题模型，除能解决航海问题和测高问题外，还能解决别的类似问题。 ? 三.?中考中的类似题型 ??例6.?（2005年青海省课改区）如图6，一人工湖的岸边有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好，在完好的桥头A处测得路边的小树D在它的北偏西30°，前进32m到断口B处，测得小树D在它的北偏西45°。请计算小桥断裂部分的长（结果用根号表示） ????分析：根据题意画出图7，延长AB交小路于点C，则∠ACD＝90°，AB＝32m，∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，要求BC的长，可参考例4的解法。 ????解：如图7，延长AB交小路于点C ????在Rt△ADC中， ????在Rt△BDC中， ???? ????，即 ???? ????小桥断裂部分的长为 ????评注：解答该题要先把实际问题转化为数学问题，在实际问题中建立直角三角形模型。通过对该题的解答，我们要认真领悟转化思想和建模思想在解题中的应用。 ? ??例7.?（2005年青岛市课改区）如图8，为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距20n mile的A，B两地设立观测站（海岸线是过A，B的直线），按国际惯例，海岸线以外12n mile范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测员发现一外国船只行驶至P处，在A观测站测得∠BAP＝63°，同时在B观测站测得∠ABP＝34°。问：是否需要向此未经特许的船只发生警告，命令其退出我国领海？ ????（参考数据：） ????分析：由于海岸线以外12n mile范围内均为我国领海，当该外国船只行驶至P处时，我们需要求出该船只到海岸线AB的距离，可过点P作PQ⊥AB于Q，求出PQ的长，再与12n mile比较大小即可判断最后结论。对照例5便可得出解法。 ????解：如图8，过点P作PQ⊥AB于Q ????∵在△PAQ中，∠