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计算方法实验八求解常微分方程的初值问题
实验八 求解常微分方程的初值问题
欧拉方法
实验程序
实现欧拉方法MATLAB函数文件agui_euler.m
在MATLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
改进的欧拉方法
1、实验程序
实现改进的欧拉方法的MATLAB函数文件agui_euler1.m
在MATLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
四阶经典龙格-库塔方法
1、实验程序
实现四阶经典龙格-库塔方法的MATLAB函数文件agui_RK.m
在MATLAB命令窗口输入及实验结果及操作界面
结果分析
从上面对欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶经典龙格—库塔方法的对比分析，可综合得如下表格，以分析其各法的优劣：
欧拉方法 改进的欧拉方法 四阶经典龙格-库塔方法 精确解 0.0 1 1 1 1 0.1 1 1.00333333333333 1.00332229271957 1.00332228354209 0.2 1.00666666666667 1.01318043439885 1.01315943820070 1.01315940382018 0.3 1.01982398432817 1.02917124455031 1.02914253543912 1.02914246657151 0.4 1.03905399621061 1.05075107999802 1.05071767902190 1.05071757449858 0.5 1.06375374284006 1.07725231061283 1.07721747999927 1.07721734501594 0.6 1.09321128737539 1.10796505335838 1.10793180836887 1.10793165135089 0.7 1.12668098409497 1.14219413568944 1.14216492938416 1.14216475918538 0.8 1.16344346839796 1.17929728421760 1.17927388378047 1.17927370799407 0.9 1.20284455113197 1.21870557556452 1.21868908341046 1.21868890774198 1.0 1.24431437969683 1.25993026586203 1.25992122158209 1.25992104989487 误差 0.01561 9.22E-06 1.72E-07
从上表比较可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，改进欧拉方法其次，欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法也是最大，改进欧拉方法其次，欧拉方法计算量最小。这样的结果，说明了运用以上三种方法时，其计算量的多少与精度的大小成正比。我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这3种方法中的其中一种最适合的，追求精度的话，可以使用四阶经典龙格-库塔方法；而改进的欧拉方法，在精度上和计算量上都表现得很出色，能够满足一般情况；而欧拉方法更主要的是适用于对的估计上，相应的，精度则有所欠缺。以上的选择，都取决于具体的情况。
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