定理411：设实数a,b且ab,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均.pptVIP

定理4.11:设实数a,b且ab,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均为c。 实数集R的基数 (0,1)到R的双射f: f(x)=tg(?x-?/2) |R|=|(0,1)|=c 线段上的点数和实数轴上的点数是一样的 整数集，非负整数集，正整数集，有理数集它们的基数是?0 实数集为? 无理数集? 设P表示无理数集 R=P∪Q, |Q|=?0, 由定理4.10知， 定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集, 则|A∪B|=|B|。 |R|=|P∪Q|=|P|, P的基数是?。 定理：两两不相交的可列个基数为c的集合的并集，它的基数也是c。 设E1, E2,…,En,…是两两不相交的基数为c的集合.S= ∪Ek 构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托. 利用Ei与[c,d)存在双射来实现 在无限集中,有基数为?0,c,还有其他基数吗? 定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的基数不是?0,也不是c. 证明:(1) F的基数不是?0 (2)F的基数不是c. 定义: [0,1]上一切实函数集的基数为f,也记为?2. 现在有?0, ?1, ?2,能否类似于数进行比较? 4.4 基数的比较 定义4.6：设A和B是两个集合, 若存在从A到B的内射, 则称A的基数小于或等于B的基数,记为|A|≦|B|或|B|≧|A|。若|A|≦|B|且|A|≠|B|, 则称A的基数小于B的基数, 记为|A|B|。 定理4.12：设A,B,C是任意集合, 那么 (1)若A?B,则|A|≦|B|。 (2)若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|。 推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。 可列集是无限集中基数最小的 [0,1]是无限集，且|[0,1]|=c??0, 所以c?0 定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理 ):设A和B是任意两个集合, 那么|A||B|,|B||A|,|A|= |B|三者中恰有一个成立。 对于基数集，对于基数集上任一元素|A|，因为 A?A,则|A|≦|A|，自反。 由定理4.12(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知传递， 是否反对称呢？ 定理4.14(伯恩斯坦(F.Bernstein)定理):设A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则|A|=|B|。 由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关系,又由定理4.13知,任意两个集合的基数都是可比较的,因此还是全序关系. 利用存在A到B的内射和B到A的内射来构造A与B之间的双射 证明基数相同的方法有：构造双射；构造内射f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作内射g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。 例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。 例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为c。 定理4.15：设A是有限集, 则|A|?0cf 定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A,必有|A||P (A)|。 证明： 康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合A, 总存在基数比|A|更大的集合, 也就是不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N, P (N),P (P (N)),… 且|N||P (N)||P (P (N))},… 左方最开始的不等式表示?0|P (N)}, 以后每一个都大于它前面的一个, |P (N)|是什么呢? 当A是有限集时,|A|=n,则|P (A)|=2n,即|P (A)|=2|A|。 当A是无限集时,也记|P (A)|为2|A|。 A是可列集, 则有|P (A)|=2?0, |P (N)|= 2?0 c与2?0之间有何关系 定理 4.17：|P (N)|=c, 即2?0=c。 ?0：所有整数(或分数)的数目； ?1=|P (N)|：线段上所有几何点(实数)的个数； ?2=|P (P (N))|：所有几何曲线的个数。 ?0c 康托尔早在一百年前就提出了一个猜想:在?0与c之间没有其它的基数, 这就是著名的连续统假设。 1900年著名数学家希尔伯脱(Hilbet.D)在巴黎数学大会上列举了23个未解决的数学问题, 向数学家们进行挑战, 其中第一个就是“康托尔的连续统基数问题”。 (1)康托尔的连续统基数问题。 1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 (2)算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性归结为算术公理的无矛盾性. 根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。 (3)只根据合同公理证明等底