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暑期专题辅导材料八（旧课） 第一章 典型例题解析（集合与简易逻辑） 例1 以下说法中正确的个数有（??? ） 　　 表示同一个集合 　　 与 表示同一个集合； 　　 　　 与 ，则集合 。 　　A3个?? B﹒2个??? C﹒1个?? D﹒0个 解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。 　　M，N表示同一个集合。 　　 且 （其中 、 均为空集）由集合相等定义可知 即证明空集唯一性。 　　1的实数组成的集合，故相等，选A。 例2 若集合： 　　 ，则M，N，P的关系是（??? ） 　　A ???????? B﹒ ? 　　C ???????? D﹒ 　　解 对集合 　　　对集合 　　对于 　　∴ ，故选B。 例3? 设全集 ， ， ，判断 与 之间的关系． 　　解：∵ 　　∴ 　　∵ 　　∴ 　　∴ 例4.?如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（????? ） A﹒ ?????????? B﹒ C﹒ IS????????? D﹒ IS 　　解 此阴影部分是属于M且属于P，即 。但又不属于S集， 所以为 IS，故选C。 例5? 解不等式 ． 　　点拨一? 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．　　解法一?　由代数式 ， 知，－2，1把实数集分为三个区间： ， ， ．　　当 时，原不等式变为 ，即 ；　　当 时，原不等式变为 ，即 ；　　当 时，原不等式变为 ，即 ．　　综上，知原不等式的解集为 ．　　点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：　　（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；　　（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；　　（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；　　（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．　　点拨二? 不等式 的几何意义是表示数轴上与 及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了． 　　解法二? 如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动 个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点 ．或由点A向左移动 个单位，即移到点 ． 　　可以看出，数轴上点 向左的点或者 向右的点到A，B两点的距离之和均小于4． 　　所以，原不等式的解集为 ． 　　点拨三? 从函数的角度思考，可分别画出函数 和 的图象．观察即得． 解法三? 如右图． ． 　　不难看出，要使 ，只须 ． 　　所以，原不等式的解集为 ． 　　点评? 对于解法一，要孰记 或 两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法． 例6 解不等式 ． 　　解法一 原不等式等价于 （Ⅰ） 或（Ⅱ） 　　解（Ⅰ），得 ，或 ． 　　解（Ⅱ），得解集为空集． 　　所以，原不等式的解集为 ． 　　解法二? 原不等式等价于 　　 （Ⅱ）． 　　解（Ⅰ），得? ，或? ． 　　解（Ⅱ），得解集为空集． 　　所以，原不等式的解集为 ． 　　点评? 比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系： 　　若 ，则 等价于 ，或 ． 　　解法三? 在直角坐标系中分别画出 ， ， ． 　　如图，不难看出，要使 ，只须 ，或 ． 　　所以，原不等式的解集为 ． 例7 解不等式 （ 为参数） 　　分析 这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论． 　　解：原不等式可化为 　　若 ，则 ，即 ，原不等式的解集为 ； 　　若 ，即 或 ，则原不等式的解集为 ； 　　若 ，即 或 ，则原不等式的解集为 　　因此，当 时，原不等式的解集为 ；当 或 时，原不等式的解集为 ??? 说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题． 例8 不等式 的解是全体实数，求实数 的取值范围。 　　分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有 且 ，特别要强调此时 。 　　解：若 ，不等式为 ，其解集为 　　若 ，不等式为 ，其解