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函数与极限 教师介绍 姓名： 刘一龙 毕业院校：安徽大学数学系应用数学专业 职称： 副教授 经历： 请大家例举身边的数学问题 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 例如： 四、反函数 五、小结 * 返回 下页 上页 湖 南 信 息 科学职 业 学 院 liu yilong 湖南信息科学职业学院公共课部 数学教研室 (Advanced Mathematics) 　　微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集 集合元素具有唯一性、确定性、无序性。 数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定 空集为任何集合的子集. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 通常用字母a, b, c等表示常量, 而数值变化的量称为变量. 常量与变量的表示方法： 用字母x, y, t等表示变量. 例 圆内接正多边形的周长 圆内接正n 边形 O r ) 因变量 自变量 数集D叫做这个函数的定义域 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 定义: 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数． (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 例1 解 故 M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 1．函数的有界性: 又如： 注意: 2．函数的单调性: x y o x y o 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 奇函数 y x o x -x 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. D W D W 直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称. 例3 解 单值函数, 有界函数, 偶函数, 周期函数(无最小正周期) 不是单调函数, 基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 * *