论辅助函数的运用.docx

目 录 摘要……………………………………………………………………………Ⅰ Abstract………………………………………………………………………Ⅱ 第一章 构造法的数学思想与发展史………………………………………1 1.1直觉数学阶段 ………………………………………………………1 1.2算法数学阶段 …………………………………………………………2 1.3现代构造数学阶段 ……………………………………………………3 第二章 几种构造辅助函数的方法…………………………………………4 原函数法…………………………………………………………………4 参数变易法………………………………………………………………5 泰勒公式法………………………………………………………………5 常数k值法………………………………………………………………6 微分方程法………………………………………………………………7 第三章 辅助函数的运用及推广…………………………………………8 辅助函数在初等数学的运用……………………………………………8 辅助函数在高等数学的运用 ………………………………………9 辅助函数在几何的运用 ………………………………………………11 辅助函数运用的推广 …………………………………………………12 第四章 总结………………………………………………………………13 参考文献（References）……………………………………………………14 致谢 ………………………………………………………………………16 第一章 构造法的数学思想与发展史 所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。从数学产生那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。直觉派出于对数学的“可信性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。”这就是构造主义。构造法的解题过程如图 图1-1 即对一个难以直接解决的数学问题M，我们可以构造一个与数学问题M等价的问题F，通过解决问题F，从而解出数学问题M。 1.1直觉数学阶段 　　直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。 　　他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”他曾计划要把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的，“与克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的。”近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。这一学派中的主要人物还有海丁和魏尔。 　他们在数学工作中的基本立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。这就是海丁所说的：“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。这就开始了构造法的第一阶段——直觉数学时期。 1.2算法数学阶段 “发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于研究那些可以能行地定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。为此，他抛弃了许多通常的数学术语，引进了各种超数学原理，从而使得直觉数学难以为人读懂。同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。在这一点上，遭到了绝大多数数学家的反对。所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古董，而主要为逻辑家们感兴趣”。因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。算法数学是一种把数学的一切概念都归约为一个基本概念——算法的构造性方法。它以递归函数理论为基础，因此，它的概念有非常严格的定义：每个函数都用它的哥德尔数的办法来处理，每个实数是一个特定的递归函数等等。它所用的方法是标准构造性的，所采纳的逻辑是直觉派逻辑。可见，马尔科夫的理论是一种不仅限制对象的类，而且限制可容许证明方法的类的“严格有穷主义”