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直线与圆锥曲线专项训练 对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线 【例题精选】： 例1：已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为，那么新坐标系的原点在原坐标系的坐标为： A． B． C． D． 分析：由移轴公式 已知： 答案：A。 例2：若平移坐标轴，把坐标系的原点O移到点，在原坐标系下的坐标为（2，－1），则原坐标系中的曲线在新坐标系中的方程是： A． B． C． D． 分析：由已知。 曲线在新坐标系中的方程是：。 答案：D。 例3：平移坐标轴化简方程，画出新旧坐标轴和图形，并写出在原坐标系下的顶点、焦点、准线方程和渐近线方程。 解：配方得。 ，在新坐标系中，曲线方程为，顶点 （－3，0）（3，0），焦点（－5，0）、（5，0），准线方程为。 在原坐标系中，顶点（－2，－2），（4，－2），焦点（－4，－2），（6，－2），准线方程。渐近线方程为，即，。 右图是曲线的图形和新旧坐标轴。 例4：设常数的长轴是短轴的2倍，则 。 分析：配方得椭圆方程时，依题意，时，。 例5：抛物线的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 。 分析：抛物线，顶点为（2，0）焦参数。如右图所示，得准线方程为。 圆心在抛物线顶点（2，0），与其准线相切的圆的半径为1，其方程为。 小结：画出方程表示的曲线，数列结合有助于问题的解决。 例6：双曲线以直线为对称轴，如果它的一个焦点在轴上，那么它的另一个焦点坐标为 。 分析：由已知双曲线的中心是（－1，2），对称轴平行于坐标轴，所以在轴上的焦点是（0，2），由对称性可知，另一焦点为（－2，2），即为所求。 例7：直线l过抛物线的焦点，并且与轴垂直，若被抛物线截得线段长为4，则 。 分析：在平移变换中，线段长度不变。 令，抛物线方程为中画出曲线如右图所示，由抛物线。 例8：已知一条与轴平行的直线与曲线交于A、B两点，曲线中心面积的最大值。 解：曲线方程可化为……①，它是中心为的椭圆。 令 ，将方程化简为： ② 设与轴平行的直线为，代入方程②得，。 例9：焦点为，离心率为2的双曲线的方程是 。 分析：由双曲线焦点为，则其中心为，实轴在轴，焦距，又离心率，所以 ,。 。 例10：设抛物线经过两点（－1，6）和（－1，－2），对称轴与轴平行，开口向右，直线被抛物线截得的线段长度是。求抛物线方程。 解：由于抛物线过点和，对称轴与轴平行，而，所以 是它的对称轴。 因此，可设抛物线的顶点坐标是，它的方程是① 由抛物线过点得 ② 将直线代入①，消去可得 ， 即 ③ 设抛物与直线的交点是满足方程③，所以 ④ 又 ，于是 ， 由题设可得， ⑤ 由④、⑤可得 ⑥ 再由②得 代入⑥得， 即 解出（不合题意，舍去）。 把代入②式可得。 。 例11：已知方程 讨论当时，方程表示什么曲线，并求出曲线的中心（或顶点）、焦点坐标和准线方程。 解：（1）当。 方程表示顶点为，焦点为（0，0），准线方程是的抛物线。 （2）当时，原方程变形为 即 方程表示中心为的椭圆，其中 。 （3）当，方程表示双曲线，其中心、焦点坐标、准线方程的表达式与（2）相同。 例12：已知曲线 （1）取什么值时，方程表示焦点在与轴平行的直线上的椭圆； （2）求此椭圆的焦点坐标并求其焦点的轨迹。 解：（1）配方得 当。 时，方程表示焦点在与轴平行的直线上的椭圆。 （2）当时，， 焦点坐标为 由 消去 。 焦点轨迹为顶点在（1，－9）开口向上的抛物线在轴下方的部分（除去顶点）。 直线与圆锥曲线 【例题精选】： 例1：当实数取何值时，直线与双曲线。 （1）有两个不同的公共点； （2）仅有一个公共点； （3）无公共点？ 分析：研究直线与圆锥曲线的交点个数的一般方法是，研究直线与圆锥曲线方程所组成的方程组的实数解的情况。 解：将直线与双曲线方程联立 ①代入②得 整理得 ③ 当，方程③有一实数解，此时直线为与双曲线的渐近线平行，则与双曲线有一交点。 当时，方程③的判别式 （1）时，直线与双曲线有两个交点； （2）时，直线与双曲线有一个交点； （3）时，直线与双曲线无交点。 小结：本题中直线与双曲线有一个公共点包含了两种情况