第一章 实数集与函数.ppt

第一章 实数集与函数 §1 实数 §2 数集 确界原理 §3 函数的概念 §4 复合函数与反函数 说明:  几个重要不等式: ⑴ ⑵ 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当 时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当 且, 且 时, 有严格 不等式 证 由 且 ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项. §1.2 数集·确界原理 一、区间与邻域 二、上确界、下确界 一、区间与邻域 二 有界集·确界原理 1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界) 数集S有上界 数集S无上界 数集S有下界 数集S无下界 数集S有界 数集S无界 闭区间 、开区间 为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集. , 等都是无界数集, 集合 也是无界数集. 2 确界: 例2 ⑴ 则 ⑵ 则 例3 设S和A是非空数集，且有 则有 . 例4 设A和B是非空数集. 若对 和 都有 则有 证 y 是A的上界, 是B的下界, 3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释. 4.确界与最值的关系: 设 E为数集. ⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论. §1.3 函数的一般概念 映射 函数的概念 几个特殊的函数举例 复合函数 反函数 初等函数 ３　逆映射　 五 反函数 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线Y=x对称的。 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函数