第六章 集合.ppt

例 求证 A?B当且仅当2A ? 2B 证： 先证必要性。 对于任意的x?2A ，由幂集的定义知 x ?A。 由必要性条件，有 x?A?B，即有 x?B。 于是由幂集的定义知x?2A ， 从而有2A ? 2B 。 再证充分性。（留作课堂练习） 对称差具有结合率 对称差具有结合率 第六章 集合 6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理 并运算：A∪B A∪B={x │x?A或x?B} 其元素是所有的或者属于集合A，或者属于集合B的元素组成。 A∪B 交运算： A∩B A∩B={x │x?A且x?B} 其元素是所有的既属于集合A，又属于集合B的元素组成。 A∩B 差运算：A–B A–B={x │x?A且x?B} 其元素是所有的属于集合A，但不属于集合B的元素组成。 A–B 对称差： A⊕B A⊕B={x│x?A且x?B,或x?B且x?A} 其元素是所有的或者属于A不属于B，或者属于B不属于A。 　　 A⊕B 由定义，不难知： A⊕B = (A–B)∪(B–A) A⊕A = ? A⊕? = A 集合运算性质 定理：设A、B、C是三个任意集合，则： 幂等律 A∪A=A A∩A=A 交换律 A∪B= B∪A A∩B= B∩A 结合律 A∪（B∪C）=（A∪B）∪C A∩（B∩C）=（A∩B）∩C 分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） 例 试证：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 证明： 对于任意的x，若x? A∪(B∩C)，则 x? A，或x?B∩C 。 当x? A，则 x? A∪B 且x? A∪C， 于是 x? (A∪B)∩(A∪C) ； 当x?B∩C，则x?B 且x?C，就有 x? A∪B, 且x? A∪C， 于是 x? (A∪B)∩(A∪C) 。 故 A∪(B∩C)?(A∪B)∩(A∪C) 再证明：(A∪B)∩(A∪C) ?A∪(B∩C) 若x? (A∪B)∩(A∪C)，则 x? A∪B, 且x? A∪C 由x? A∪B 得 x?A 或x?B； （1） 由x? A∪C 得 x?A 或x?C 。 （2） 于是， 当x?A，有 x? A∪(B∩C)； 当x?A，由(1)和(2)， x?B 且x?C，有 x?B∩C ，所以x? A∪(B∩C)。 故 (A∪B)∩(A∪C) ?A∪(B∩C) 综上知， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。 命题 (p65) A⊕B = (A∪B)–(A∩B) 证明：对于任何一个x,若x?A⊕B，则 x?A–B或x?B–A。 若x?A–B，则有 x?A且x?B ， 从而有 x? A∪B且x? A∩B ， 所以 x? (A∪B)–(A∩B) ； 若x?B–A，则有 x?B且x?A ， 从而有 x? A∪B且x? A∩B ， 所以 x? (A∪B)–(A∩B) ； 因此, A⊕B ? (A∪B)–(A∩B) 命题 (p65) A⊕B = (A∪B)–(A∩B) 再证 (A∪B)–(A∩B) ? A⊕B 对于任何一个x，若x? (A∪B)–(A∩B) ， 则有 x? A∪B 且 x? A∩B。 若x?A,又x? A∩B, 所以 x?B, 从而有 x?A–B, 故 x?A⊕B； 若x?B,又x? A∩B, 所以 x?A, 从而有 x?B–A, 故 x? A⊕B； 因此， (A∪B)–(A∩B) ? A⊕B 综上所得， A⊕B = (A∪B)–(A∩B) 。 例（A ⊕ B）⊕ C = A ⊕（B ⊕ C） 例：（A ⊕ B）⊕ C