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证明角相等的方法 【教材分析】 证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程。 解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述. 【教学目标】?? 1、帮助学生梳理有关角相等的理论依据及一些基本方法； 2、训练学生有关角的转化技能；进一步加强训练学生几何证明题的分析综合能力，在平面几何演绎推理中适当提示学生类比，归纳等推理意识与学习方法； 3、通过几何知识，培养学生严紧推理的数学素养与大胆联想的心理素质. 【教学过程】 一、问题：你知道证明两个角相等有哪些方法吗？ （在学生思考回答的基础上，教师帮助分类小结） (一)相交直线及平行线： ①二直线相交，对顶角相等。 ②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等。 ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。 ④角的平分线分得的两个角相等。 ⑤到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； ⑥自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等（图）。 (二)三角形中： ①同一三角形中，等边对等角。等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等） ②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。 ③有一角为60°的等腰三角形是等边三角形（三内角都相等） ④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图）。 (三)四边形中： ①平行四边形对角相等。 ②菱形的对角线平分一组对角。 ②矩形的四角相等，且均为直角。 ③等腰梯形同一底上的两角相等。 (四)正多边形中： ①正多边形的各内角相等、外角相等，且内角= (n-2)180°/ n，外角=360°/ n ②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n . (五)圆中： ①同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。 ②同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。 ③同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。 ④自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。 ⑤两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分（图4）。 ⑥圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。 (六)全等形中： ①全等形中，一切对应角都相等。 (七)相似形中： ①相似形中，一切对应角都相等。 (八)角的运算： ①对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。 ②对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。 ③两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二角相等。 ④两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二角相等。 二、例题选讲：（主要通过学生思考，老师引导的方法。） 例1.已知：如图1，．求证： 图1 图2 例2.已知，如图2，在中，，AC=BC，AD为BC边的中线，CE 于E，交AB于F，求证：． 例3. 已知 ：如图3，AB=AC，且，求证：． 例4．如图4，的三条内角平分线相交于点O，且，垂足为G．求证： 例5已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB 于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G. 求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF 例6如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：⑴∠E=∠F；⑵BE=DF 三、课后练习： 1、已知：如图5，点C是AB的中点，AC=CE，，求证：． 2、已知：如图6，AD是的平分线，E是AB 上的一点，且AE=AC，EF∥BC交AC 于点F．求证：EC平分． 图5 图6 3、在菱形ABCD中，F是AB上一点，DF交AC于E，连结BE，说明AFD=∠CBE。 4、如图，已知BC是直径， ，AD⊥BC， 求证：（1）∠EAF=∠AFE。 （2）BE=AE=EF 5、AB是 ⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证：∠FMC=∠AMD