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评价雨量预报方法的数学模型 摘要：本文建立了用于评价雨量预报方法准确性的数学模型。首先针对问题一，结合具体数据进行量化评价。我们先是在模型一中利用matlab的二维插值法得到观测站点的预测数值，与这些站点的对应观测值进行比较得到二者的差值，通过比较差值的平方和RSS、分布函数的均值方差等，初步得出结论，方法一略优于方法二。模型二中根据气象部门进行的是四时段预报，进一步细化模型，分时段比较两种方法预测的误差的平方和及分布函数的均值方差，结论同之前的总体比较。模型三中考虑到用预测值的相对误差比用绝对误差来衡量预报准确度更为科学，我们以观测值为中心建立波动率分别为5%、10%、20%的允许误差区间，看其对应的预测值是否落入这个区间以判定预测是否准确，通过建立计数函数t可以得出落入相应区间的预测值数，t即可视为每种方法预测相对准确的数，再除以预测值总数求得预报准确率来比较方法优劣。结论如下： 方法1 方法2 准确率之差 r=0.05 0.68302 0.67936 0.00366 r=0.1 0.71389 0.70788 0.00601 r=0.2 0.76256 0.75706 0.0055 为了检验我们的结论，引入验证工具——成功预测概率(POD)来进行检验。证明我们结论正确，方法一略优于方法二。 针对第二问要求在评价方法中考虑公众的感受，我们主要考虑公众对预报的满意程度，并将降雨量的具体数值模糊化，按照降雨量的数值大小进行归类，归入从无雨到特大暴雨一共7类中，以数字0——7作为等级代码。在初期模型中，得到预测值与观测值对应的等级代码后，求出二者等级之差作为预报误差。引入因子表示公众的满意程度，易知是等级之差的减函数。建立反映二者关系的分段函数，并得到两种方法下各个取值的频数进行比较。考虑到预报误差与分段区间长短的关系，我们引入因子作用于，随分段区间长度的不断增加，预测难度的降低，取值越小，以此衡量人们对准确率的要求随预报的容易而降低。作为新的衡量满意程度的因子，求出两种方法该因子的均值，得出法一较优。 问题二的模型二中，我们借用模糊数学中的隶属度函数来描述这种分等级的预报方式给人们带来的感受。根据降雨等级所包含的降雨量的区间的不同（有界区间还是无界区间），分别采用降半正态分布，升半正态分布和正态模糊函数作为不同区间的隶属度函数，用预测值确定该情形应使用的隶属度函数，然后把观测值代入预测值确定的隶属度函数，并把每种方法算出的隶属度加总比较，两者近似相等。同时算得平均隶属度分别为：0.8304和0.8281，作为考虑进人们心理因素后的预测准确率，可见预测的准确程度有提高。 最后我们评价了模型的优缺点，并对模型的改进提出了建议。 关键词：二维插值；均值；方差；计数函数；准确率；隶属度 问题的提出 雨量预报对农业生产、城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量做出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。 气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法得到的预报数据和相应的实测数据。雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性； 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？ 模型假设及说明 由于问题中经纬度跨度不是很大，预报的位置均位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上，所以假设不考虑地球球体表面的曲度，将问题置于二维平面中考虑。即相当于将题目中涉及的地球球体表面在平面上展开。 假设各雨量在各网格点分布是光滑的。，。 假设当雨量小于0.1毫米时，视为无雨。 问题二中气象部门将6小时降雨量分为6等的等级分类法已经实行较久，并且已经为公众所熟知。 模型中符号说明 ——第k个观测站点的降雨量的预测值，k=1,2……7644； ——第k个观测站点的降雨量的观测值，k=1,2……7644； ——第k个观测站点的降雨量的预测值与观测值的差值，k=1,2……7644； ——赋予一天预报雨量的4个时段的权重，i=1,2,3,4； RSS——观测站点降雨量的预测值与观测值