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第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45) 1、（1）对于，； （2）对于， ， ， 即。 （3）对于和，显然； （4）对于，令， 则，即。 （5）对于和，有 （6）对于和，有 ， ， 即。 （7）对于和，有 ， （8）对于，有。 综上所述，V在R上构成线性空间。 2、对于和，因为，，所以，，从而由第1.2节定理1可知，是的子空间。 因为对，，即，所以由第1.4节的定理3可知，。 3、对于和，满足，，并且 ，，即，，从而由第1.2节定理1可知，V是的子空间。 4、对于和，满足，，并且，，从而由第1.2节定理1可知，V是的子空间。 ，并且V的一组基为，和。 5、对于和，满足，，并且，，从而由第1.2节定理1可知，V是的子空间。 ，并且V的一组基为， 其中，其它元素为0。 6、[解]由，可得 由，可得 。 7、由二项式定理， ， 所以在下的坐标为。 8、由和可得和。 对于，存在常数和，使得 ， 故。 对于，存在常数和，使得 ， 故。综上所述，有。 9、因为，从而 。上面的过程可以得到，所以。 则由第4节定理1可知，，并且是它的一组基（并不唯一）。 再由子空间维数定理可得， ，并且基为 。 10、设是的一组基，则因为，所以。再由可知，是的一组基，从而。即得。 11、？ 12、对于，存在常数，使得，从而。 13、设所求矩阵为A，从到的转换矩阵为P，则，从而。 由，可得， 又由，可得， 即。 14、若取一组常数，使得，则作用线性变换T次，得到，因为，所以。作用线性变换T次，得到，因为，所以。依次类推，得到，所以是W的基。 因为， 所以矩阵为。 15、设和是A分别对应于不同特征值和的特征子空间。对，它满足与，从而，即。因为，所以，从而，从而得证。 16、对任意A的特征子空间，，满足。 从而，即，从而得证。 17、对于，则且，从而，，即， 得到。 对于，则且，从而，，即，得到。 综上所述，。 18、对于，则存在， 使得，从而。 19、显然，即，并且，，，所以，即。 第二章 内积空间 习题二（71-73） 1、由题意可知，，所以对于，，有 （1）； （2）； （3）； （4）。因为，所以 综上可知，V是酉空间。 2、，从而， 。对于，由，得，可得的基为，，从而。 对进行Schmidt正交化，可得， 。 对进行单位化，即得的标准正交基 ； 。 3、由于为的标准正交基，则由第2.2节定理2可知，内积在这组基下的矩阵为。又由，可得 再由第2.1节定理4可知， 。 4、设为n维欧氏空间V的一组标准正交基，线性变换T在这组基下的矩阵为A，即。 （1）若T为对称变换，即对于，，有 ，即，由于是一个常数，所以，即A为对称阵。 （2）若T为反对称变换，即对于，，有 ，即，由于是一个常数，所以，即A为反对称阵。 5、由，可得。又因为线性无关，所以它们是W的一组基，对进行Schmidt正交化，得到： ； 。 对进行单位化，即得W的标准正交基 ； 。 令，则，，即，解得，，从而。 6、显然，。对，有，，，，则，从而为到的正交投影。 7、由为酉矩阵，则，而，从而， 。 即，，则，。从而，，A，B为酉矩阵，。 8、（1），有，从而，所以，即。 ，有，从而，即，，所以。 综上所述，。 （2），则，使得。令，则，使得，即，从而。 对，则，使得，令，则，，即。 综上所述，。 （3）显然。由及（2）可知， 和 ，从而得证。 9、（1），即为幂等阵。 ，所以与P可交换。 （2）对，，使得，则 ，所以，即。 对，则，有，所以，即 。 综上所述，。 （3）设为P的特征值，x为对应的特征向量，则，从而，再由，得到，即，从而或。 （4）由和第2.4节定理4可知，P为酉空间到上的正交投影，而，所以。 （5）若，则； 若，则，使得，从而。 第三章 矩阵的对角化、若当标准型 习题三（106-108） 1、由第3.1节的司楚尔（Schur）引理可知，，使得，其中R是以A的特征值为对角线元素的上三角阵，则，所以 。 2、由可得特征值为（二重），。 由，得到。 由，得到。从而由第3.1节定理5可知，A可对角化。 对于，得到对应的特征向量为和。 对于，得到对应的特征向量为。从而相似变换矩阵。。 3、因为，所以与的特征多项式相同，从而得证。 4、因为，则，从而A为正规阵，由第3.1节的推论6可知，若为A的特征值，则为的特征值，设x为其对应的特征向量，则，即。因为，所以，从而为纯虚数。 5、充分性：由可知，A为埃尔米特阵，故由第3.1节定理6可知，，使得，其中是以A的特征值为对角线元素的对角矩阵。又由可得，，从而A的特征值只能为0或1。又因为，所以不妨取前r个特征值为1，从而得证。 必要性：若，使得，则， ， ，从而。 6、因为A正定，所以，。特别地，依次