第五章 定积分学习指导.docVIP

第五章 定积分学习指导 一、基本内容 (一)定积分的定义 设在上有界，在上任意插入若干个分点 ，把分成个小区间，小区间的长度为()，在每个小区间上取点，，作和式 。 证，若当时，对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法，均有确定的极限I，则称在上可积，极限I为在上的定积分，记为。 即 (二)有关定积分的重要性质和定理 1．线性性： 2．可加性： 3．比较性：若在上，则，取得若，则。 4．估值性：设和是在上的最大值和最小值，则 。 5．积分中值定理：若在上连续，则，使 称为在 的平均值。 6．可变上限的定积分及其性质 设在上连续，()，则在连续、可导且，即是的一个原函数。 由此可得：若则。 (三)定积分的计算 1．牛顿-莱布尼兹公式：若是的一个原函数，则 2．换元积分法：略 3．分部积分法： (四)广义积分 1．无穷区间上的广义积分 设在内连续，取若存在，则称广义积分收敛，否则为发散，同理可定义和。 2．无界函数的广义积分 设在上连续，在点的某邻域内无界，取，若存在，称广义积分收敛，否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间内部的广义积分。 二、基本要求 1．掌握定积分的定义，了解定积分概念产生的背景； 2．掌握变积分限函数的性质及求导方法； 3．掌握牛顿莱布尼兹公式，熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法； 4．理解定积分的有关性质并注意解题与证题中的应用； 5．了解广义积分的定义，并能计算一些简单的广义积分。 三、重点与难点 1．重点：定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算； 2．难点：利用定积分的一些定义和性质来解题或证明。 四、学习中应注意的几个问题 1．理解定积分的几何意义：()由曲线及直线，和所围曲边梯形的面积，这是用定积分解决有关面积问题的基础； 2．积分限问题。在中一般，但为讨论问题的方便，规定时，；时，； 3．遇到函数绝对值的定积分，应将绝对值去掉，即分区间进行讨论； 4．用换元法积分时，应牢记换元应换限； 5．解题或证题中，若遇有变限定积分，可以优先考虑用导数来处理； 6．二个公式：若是奇函数则 若是偶函数则 五、典型例题 例1 计算 解：∵ ∴原式 例2 求极限 解：原式 例3 证明：若是奇函数，则 证：∵ 而 ∴。 例4 计算 解：令，， 时，，时，代入得： 原式 例5 计算 解：原式 例6 ，计算 解： 例7 是以为周期的连续函数，证明的值与无关。 证： 而 ∴ 即的值与无关。 例8 设在上连续且，证明： (1)；(2)方程在内有且仅有一个根。 证：1) 2) 由于在上可导，故在上连续，故由零点存在定理知，在上连续，故由零点存在定理知。在由至少有一个根，但由于。故在上单调递增，所以方程在有仅有一个根。 1