第五章 量纲分析与相似原理.docVIP

第五章 量纲分析和相似原理 本章的主要内容： 量纲 ( Dimension ) 量纲分析法 ( Dimensional analysis ) 流动相似 ( Similitude ) 相似准则 ( Law of similarity ) 第一节 量纲与单位 (unit) 量纲（因次）：单位的类别 Dimension : the measure by which a physical variable is expressed quantitatively. Unit: a particular way of attachig a number to the dimension. 三个基本量纲 ( Primary or fundamental dimensions )： 长度L、时间T、质量M eg：diameter d and length l have the dimension of length [ d ] = [ l ] =L 其他量纲可以表示为基本量纲的组合——诱导量纲 (Derived dimension ) eg： velocity v = ds/dt, [ v ] = LT-1 acceleration a = dv/dt， [ a ] = [ v ]/T = LT-2 force F = ma， [ F ] = [ m ]·[ a ] = MLT-2 与物理量单位的组合规律相同。 水力学中任一物理量 f， [ f ]= L?T?M? 若 ?≠0，?＝0，?＝0， f 为几何学量 (geometric quantity) 若 ?≠0，?＝0， f 为运动学量 (kinemetic quantity) 若 ?≠0，f 为动力学量 (dynamic quantity) 例：面积A， [ A ] = [ d2 ] = L2 体积V， [ V ] = L3， 都是几何学量 速度梯度du/dy, [ du/dy ] = [ v ]/[ y ] = LT-1/L= T-1， 是运动学量 密度 ??=m/V，? ] = [ m/V ] = ML-3 切应力?、压强p , ?????= [ p ]= [ F/A ] = [ F ]·L-2 = MLT-2/L-2 = M L-1T-2 都是动力学量 已知 ， 则 粘度的量纲 单位：Pa·s或 kg/(m·s) 运动粘度 ， [ ??? = ML-1T-1/(ML-3) = L2T-1 是运动学量，故名。 无量纲量 (Dimensionless quantity) ——没有单位的量 [ f ]= L?0T0M0?=?1 可以用若干有量纲量的乘积构成一个无量纲量 ( Dimensionless group ) 例1： 水力坡度 J = hf /l， [ J ] = L/L= 1 The ratio of two variables with same dimension is dimensionless . 例2：Reynolds number 例3：弗劳德数 ( Froude number ) 力学公式中的系数最好是无量纲数 例： 沿程水头损失系数?，局部水头损失系数? 力学公式、方程中的对数、指数、三角函数中的变量应该写成无量纲量的形式，其函数值应该是无量纲数。 如：z=z0+?z sin ?t 或 (z-z0)/?z =sin ?t [ ?t ]=T-1T=1， 单位：弧度 lnr1－lnr2 = ln(r1/r2) 第二节 量纲和谐原理及量纲分析法 一、量纲和谐原理 Principle of dimension homogeneity (PDH) ——正确反映客观规律的物理方程或关系式中，求和式中的各项或方程的两边量纲应相同。 如： 伯努利方程 ＝C 各项均具长度的量纲。 推导关系式时检查量纲是否和谐可以减少错误。 部分沿用至今的水力学经验公式可能不满足量纲和谐原理（如：曼宁公式），使用时注意其中各变量和常数的单位。 二、 量纲分析法——?定理 量纲分析法——利用量纲的规律确定物理关系式的形式 ?定理 ( The pi theorem): 如果一个物理过程涉及n个物理量(x1，……，xn)，且基本量纲数为m，则该物理过程可以用由这n个物理量组成的n－m个无量纲量(??，……，?n－m)的关系式来描述。 即： 原来的关系式为 f(x1，……，xn) = 0 新的关系式为 F(??，……，?n－m) = 0 可以