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第五章 平面图形的几何性质 同济大学航空航天与力学学院 顾志荣 材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。 杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。 （小实验） 研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般 图5-27。 实际杆件的横截面： 抽象为： 特殊 一般 图5-27 1、静矩 形心位置 （１）静矩 图5-28： 图5-28 微面积dA与Z轴、Y轴间距离的乘积ydA,zdA分别称为微面积dA对Z轴、Y轴的静矩。 整个截面对Z轴、Y轴的静矩可用下式来定义： （若把A看作力） 定义：截面A对Z轴： （４-1） 截面A对Y轴： 计算：①对（４-1）式直接积分： ②若已知截面的形心位置C，则可以写成： （４-2） （２）形心的位置： （４-3） 性质：①截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。 ②截面对通过形心的轴的静矩恒等于零，即： 　　 决定因素：静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。 数值范围：可以为正、或负、或等于零。 单位： （３）组合截面的静矩： （４-4） 即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩，等于各组部分对于同一轴静矩代数和。 （４）组合截面的形心位置： （4-5） 例题5-7 求图5-29所示截面图形的形心。 图5-29 解：把T形看成为由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 ∵y轴是对称轴 ∴形心必在y轴上 ① 求 Ⅱ= （到Z′轴） ycⅡ=60+20=80mm 则： ②求＝？ ＝＝＝＝52mm 2、惯性矩（形心主惯性矩） 惯性半径 极惯性矩 图5-30 定义：（1）惯性矩 （4-6） 定义为截面对z轴,y轴的惯性矩。 （2）形心主惯性矩——若Z轴经过截面的形心，并取得最大或最小惯性矩，则该轴称为形心主惯性轴。截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，用，表示 （3）惯性半径 （4-7） 对于圆形截面 i= （4）极惯性矩： （4-8） 定义为截面对坐标原点的极惯性矩。 ∵ ∴ 计算方法：直接积分 例题5-8：惯性矩的计算 ①求矩形截面对其对称轴（即形心轴）y、z的惯性矩？ 图5-31 解： ＝＝ Iy＝＝ ＝＝ ②三角形 求其 图5-32 解：＝ ＝ ＝ = ③圆形（扇形、1／4圆、1／2圆、全圆） （1）扇形 求其 图5-33 解： = （A） （2）1／4圆 图5-34 解；∵ 代入（A）式即得 （3）1／2圆 图5-35 解：∵， 代入式（A）得 （4）全圆 图5-36 解： ∵ 代入（A）式即得 性质：（1）同一截面对不同的坐标轴的惯性矩是不相同的。 （2）截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，恒等于它对该两轴交点的极惯性矩（∵） 决定因素：截面形状、尺寸、轴的位置。 数值范围：惯性矩、惯性半径和极惯性矩的数值恒为正。 单位：惯性矩、极惯性矩的单位相同、均为：惯性半径： 3、平行移轴公式 图5-37 已知：、 ；、 ∥， ∥ （两坐标轴互相平行） 求：、 ； 、的关系。 解： = = = 由此可见：图形对任意轴的惯性矩图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩图形面积与两轴间距离平方的乘积。 同理可得： 平行移轴公式的运用： 例题5-9 求图示图形的 图5-38 解：求 因，即： （2）求 ∵ （错！！） 而应该： 注意：移轴一定要对截面形心