第八章第八节直线与圆锥曲线(理)课下作业.docVIP

第八章 第八节 直线与圆锥曲线（理） 题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题 1.若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　) A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个 解析：由直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点得 2，m2＋n24，点(m，n)表示的区域在椭圆＋＝1的内部，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为2个． 答案：B 2．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4＝________. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去x得y2－2mpy＋2pm＝0， ∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm， (y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2m2－8pm. 又焦点在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m， ∴|y1－y2|＝4， ∴S△OAB＝×|y1－y2|＝2， －m＝，平方得m6＋m4＝2. 答案：2 题组二 直线与圆锥曲线的相交弦长问题 3.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A. B. C. D. 解析：过A、B作l的垂线， 垂足分别为A1、B1， 由，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|BF|＝|AF|， ∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点． 从而yA＝2yB，联立方程组消去x得： y2－y＋16＝0，∴ ?消去yB得k＝. 答案：D 4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4×≤. 答案：C 5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA||FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． 解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1. x2－6x＋1＝0x＝3±2. ∵|FA||FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为 3＋2，B点的横坐标为3－2. ＝＝＝＝＝3＋2. 答案：3＋2 题组三 最值与取值范围问题 6.已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,5) C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点， 只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴≤1， 又m0且m≠5，∴m≥1且m≠5. 答案：C 7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．[－，] D．[－， ] 解析：由－＝1可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，过点F分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形得知，符合题意的直线斜率的取值范围为[－，]． 答案：C 8．已知双曲线－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________． 解析：设∠F1PF2＝θ，由 得 ∴cosθ＝＝－e2. ∵cosθ∈[－1,1)，∴1＜e≤. 答案： 题组四 综 合 问 题 9.(2010·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点． (1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l∶x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，消去x得 y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)证明：设l∶x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得 y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 令