第八章第四节直线与圆锥曲线的位置关系.docVIP

第八章 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系 题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题 1.抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆． 答案：C 2．(2010·广州摸拟)过双曲线－＝1(a0，b0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若＝，则双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 解析：过点A(a,0)的直线的方程为y＝－x＋a，则易求得该直线与双曲线的渐近线y＝±x的交点B、C的坐标为B(，)、C(，－)，由＝得b＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝＝. 答案：C 题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题 3.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A. B. C. D. 解析：过A、B作l的垂线，垂足分别为A1、B1， 由，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∵2|BF|＝|AF|， ∴|AA1|＝2|BB1|， 即B为AC的中点． 从而yA＝2yB，联立方程组消去x得： y2－y＋16＝0，∴ ?消去yB得k＝. 答案：D 4．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 解析：设直线AB的方程为y＝x＋b， 由x2＋x＋b－3＝0x1＋x2＝－1， 得AB的中点M(－，－＋b)， 又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1， ∴x2＋x－2＝0， 则|AB|＝＝3. 答案：C 5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA||FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． 解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1. ?x2－6x＋1＝0x＝3±2. ∵|FA||FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋2，B点的横坐标为3－2. ＝＝＝＝＝3＋2. 答案：3＋2 题组三 最值与取值范围问题 6.已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,5) C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点， 只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴≤1， 又m0且m≠5，∴m≥1且m≠5. 答案：C 7．已知双曲线－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________． 解析：设∠F1PF2＝θ，由 得 ∴cosθ＝＝－e2. ∵cosθ∈[－1,1)，∴1＜e≤. 答案： 题组四 综 合 问 题 8.已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C的方程； (2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足·＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)如图，设M为动圆圆心，F(2，0)，过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为N， 由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x＝－2为准线，所以动圆圆心轨迹C的方程为y2＝8x. (2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－2)(k≠0)， 由，得y2－8ky＋16k＝0， Δ＝(－8k)2－4×16k0，解得k0或k1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8k，y1y2＝16k， 由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0， 即k2(y1－2)(y2－2)＋y1y2＝0， 整理得：(k2＋1)y1y2－2k2(y1＋y2)＋4k2＝0， 代入得16k(k2＋1)－2k2·8k＋4k2＝0，即16k＋4k2＝0， 解得k＝－4或k＝0(舍去)， 所以直线l存在，其方程为x＋4y－8＝0. 9．已知双曲线C：－＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其