第六章 样本及抽样分布.docVIP

第六章． 样本及抽样分布 概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用。 数理统计学： 收集数据——统计模型——数据分析——估计，判断。 §1. 随机样本 总体：研究对象的某项数量指标的植的全体。（有限和无限总体） 个体：总体中的每个元素 样本：总体中抽出的部分个体 例: 1） 华北电力大学全体大学生的高数成绩 2） 华北电力大学全体大学生的身高 总体：相同条件下对总体X进行n次独立的观察——实验次序——是与随机变量X同分布的几个相互独立的随机变量——是来自总体的一个简单随机样本，n为样本容量。 的观察值————样本值 个体总数N，样本容量n。当N时， 不放回抽样放回抽样 定义：设X是具有同分布函数的随机变量，当是具有同一分布函数的相互独立的随机变量，则称是从分布函数F（或总体F，或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本。它的观察值称为样本值。又称为X的n个独立的观察值。 注：若为F的一个样本，则的联合分布函数为 又若X的概率密度为f，则的联合概率密度为 . §2. 抽样分布 定义：总体X，是来自总体X的样本，是连续且无任何参数，则是一统计量. 当是的观察值，则是的观察值。 几个常用的统计量： 总体X,样本，观察值 1．样本平均值： 观察值 2．样本方差： 3．样本标准差： ， 4．样本k阶（原点）矩： 5．样本的k阶中心矩： 命题1. 若总体X的k阶矩存在，则 解 独立同分布独立同分布 命题2. 若连续，则 例，设总体X已知，未知，是样本，则以下不是统计量的有④ ①，②，③， ④ 二、来自正态总体的n个常见统计量的分布： 1. 分布 ①定义：若是来自正态总体的样本， 则称统计量 服从自由度为n的分布，记为. ②概率密度的共同形：（） ③性质： A. B. 事实上： ④分布的上分位点： 称满足： 的点为的上分位点。 时，，是标准正态分布上上分 位点。 例： 2．分布 。且与相互独立，则称 随机变量 服从自由度为的分布，记为。???（学生氏（S?分布） ??????）概率密度及其图形??? ???????? ??????）??分布的上分位点： ? 的点为分布的分位点。 4）性质： A： 即， B：的图形关于纵轴对称： C：时 3．分布： 1）定义：设（），且相互独立，则 称随机变量 服从自由度为（）的分布，记为 2）概率密度及其图形 3）分布的上分位点： 称满足： 的为分布的上分位点. 4）性质： A： B： C： [B. 若则 又，从而 所以] 例 （） 4．正态总体的某些常用统计量的分布： 定理1： 总体，样本，分别是样本的均值与方差，则： 1）相互独立； 2）； 3）； 4）. { 2），3）4） } 定理2： 总体，样本，总体，样本，相互独立，： 则 1）； 2）当时 ， 其中 证明： 1）由Th1 . 由独立可知， 即 2） （可加性） 可证独立（附录2）因此： 证毕. 例 设是其样本，则（3）正确 1）， 2), 3) , 4) 例 设总体，。求的概率分布。 解： 又： 从而：. 8