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第6章 模糊设计 6.1 模糊集合与隶属函数 1965年，Zadeh教授发表了《模糊集合论》论文，提出用“隶属函数”这个概念来描述现[O，1]的模糊逻辑为基础的，模糊数学又称Fuzzy数学“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词 需要指出，随机性和模糊性尽管都是对事物不确定性的描述，但二者是有区别的。概[0，1]上取值的概率分布函数就描述了这种随机性。模糊数学是研究和处理模糊现象的，所研究的事物的概念本身是模糊的，即一个对象是模(fuzziness)。在[0，1]上取值的隶属函数就描述了这种模糊性。 人们要表达一个概念，通常有两种方法，一种是指出概念 出概念的外延，即外延法。实际上，概念的形成总是要联系到集合论，从集合论的角度看，内涵就是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素。由此不难看出，内涵和外延是描述概念的两个方面。 在人们的思维中，有许多没有明确外延的概念，即模糊概念。表现在语言上有许多模糊 模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”，就0或1，而是介于0和1之间的一个实数。 模糊的定义这里给出Zadeh在1965年对模糊模糊子集的定义 设给定论域，到[O，1]闭区间的任一映射：[O，1] （6-1） 都确定的一个模糊子集，称为模糊子集的隶属函数，称为对于的隶属度。 上述定义表明，论域上的模糊子集由隶属函数来表征，取值范围为闭[0，1，的大小反映了对于模糊子集的从属程度。的值接近于1，表示从的程度很高；的值接近于0，表示从属的程度很低。可见，模糊子集完全由 当的值域={0，1}时，蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集便蜕模糊模糊模糊为有限集{}时，通常有如下三种方式。 ①Zadeh表示法 (6-2) 式中，并不表示“分数”，而是表示论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，符号“+”也不表示求和，而是表示模糊集合在论域上的整体。 ②序偶表示法 该方法将模糊集合用论域中的元素与其隶属度构成的序偶表示，即 (6-3) 此种表示方法隶属度为0的项可不写入。 ③向量表示法 对模糊集合，论域中的元素为，其隶属度为，采用向量表示法如下： (6-4) 在向量表示法时，隶属度为0的项不能省略。 在上述三种表示法中，经常采用的是第一种方法，即Zadeh表示法。 2) 当是连续论域时，Zadeh给出如下记法： (6-5) 同样，也不表示”分数”，而表示论域上的元素与其隶属度之间的对应关系；“”既不表示“积分”，也不是“求和”记号，而是表示论域上的元素与其隶属度对应关系的一个总括。 (2)模糊集合的运算 下面给出模糊集合定义及其运算性质。 模糊子集的包含和相等关系 设为论域上的两个模糊子集，对于中每一个元素，都有，则包含，记作。 如果，且，则说与相等，记作。由于模糊集合的特征是它的隶属，都有。 2) 模糊子集的并、交、补运算 设为论域上的两个模糊子集，规定、、的隶属函数分别为 、，并且对于的每一个元素，都有 (6-6) (6-7) (6-8) 上述三式分别为与的并集、交集和的补集。式中“”表示取大运算，“”表示取小运Zadeh算子。因此两个模糊子集的并、交可写成 (6-9) (6-10) 模糊子集并集的隶属函数取及中的最大值；而交集的隶属函及中的最小值。模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。 模糊子集的代数运算 ①为模糊集合和的代数积，的隶属函数为 (6-11) ②代数和 称为模糊集合和的代数和，的隶属函数为 (6-12) ③环和 称为模糊集合和的环和，的隶属函数为 (6-13) 4) 模糊子集运算的基本性质 ①幂等律 ②交换律 ③结合律 ④分配律 ⑤吸收律 ⑥同一律 ⑦复原律 ⑧对偶律 上述性质模糊集合与经典集合是相